La synthèse des éléments

Introduire un peu formation des éléments etc. + parler de hoyle

Au début des années 1940, une hypothèse à l'étude est l'abondance relative des atomes dans l'Univers s'explique par un équilibre thermique rapide ayant eu lieu à une température $T$ qui aurait gelé les proportions des différentes espèces. Très approximativement, ces proportions devraient suivre une distribution de type Maxwell-Boltzmann $n \propto e^{-E/(k_B T)}$ où $E$ est leur énergie nucléaire de liaison. L'énergie de liaison augmentant linéairement avec la masse atomique, l'abondance des espèces devrait décroitre exponentiellement avec celle-ci. Mais ce n'est pas ce qu'on observe : au lieu de cela, l'abondance des espèces lourdes est à peu près constante. L'idée d'un équilibre thermique rapide est donc rejetée.

A partir de 1946, Gamow propose (G. Gamow  1946) , en réponse à l'échec de cette explication, une autre théorie de formation des éléments basée sur un processus hors équilibre qu'il justifie par l'expansion rapide de l'Univers. Il montre dans le cadre du modèle d'Einstein-de Sitter que l'Univers se serait trouvé dans un état de densité suffisant pour autoriser des réactions nucléaires pendant un temps très court, vers ses tous premiers instants, pendant lequel un équilibre n'aurait pu être atteint. Gamow suggère alors un mécanisme, après qu'il ait remarqué une forte corrélation entre les sections efficaces de capture de neutrons par des noyaux et leur abondance :

1. Dans ses premiers instants, l'Univers se trouve dans un état où il est dominé par des neutrons
2. Les neutrons s'agglomèrent très vite par capture neutronique pour former successivement des éléments contenant de plus en plus de nucléons. Ceci doit se faire très rapidement étant donné le temps de demie-vie du neutron qui se désintègre en environ 1000 s : sinon, tous les neutrons seraient devenus des protons avant de s'agglomérer.
3. Ces éléments lourds qui se forment se stabilisent par radioactivité $\beta^-$ (leurs neutrons deviennent des protons) donnant les atomes stables dont on mesure aujourd'hui l'abondance.
4. Les neutrons finissent par se désintégrer, et par ailleurs l'expansion ralentit la chaine d'agglomérations.

L'univers jeune dominé par les photons

En 1948, Gamow, Alpher et Herman publient de nombreux papiers dans le cadre de cette théorie (R. A. Alpher, H. Bethe et al.  1948) . Ils comprennent que pour expliquer la présence importante d'hydrogène, il est nécessaire que les protons issus de la désintégration des neutrons libres n'aient pas tous formé avec eux du deutéron (noyau constitué d'un proton et d'un neutron). Ils proposent alors que la formation du deutéron soit en fait un équilibre : \begin{equation} n+p \rightleftharpoons d+\gamma \end{equation} Cet équilibre maintient la quantité de neutrons en empêchant leur désintégration (les neutrons libres réagissent pour former du deutéron dans lequel ils sont stables puis sont libérés à nouveau très vite par rapport à leur temps de demi-vie). Pour que la réaction inverse (et donc l'équilibre) soit possible, il faut que l'Univers contienne de l'énergie sous forme de photons à un niveau comparable à l'énergie de dissociation du deutéron, ce qui correspond d'après les trois physiciens à un rayonnement d'une température de l'ordre de ($10^9$ K). Avec l'expansion, l'énergie des photons diminue jusqu'à ce que la réaction inverse soit impossible. Ils comprennent alors que l'Univers devait être très chaud, et que la densité d'énergie de radiation $\sim \sigma T^4/c$ était très supérieure à la densité d'énergie de la matière non relativiste. Ceci a plusieurs implications. D'abord, d'après les équations de Friedmann, cela signifie que l'expansion était gouvernée par le rayonnement. De plus, ce rayonnement qui a du refroidir avec l'expansion devrait toujours exister, et en connaissant sa température à un instant donné (ici celui où les photons cessent de contribuer à l'équilibre du deutéron), il est possible d'en déduire la valeur actuelle. Ce sont Alpher et Herman qui proposent ainsi pour la première fois l'existence de ce qui est aujourd'hui appelé fond diffus cosmologique ("CMB" en anglais pour cosmic microwave background); Ils établissent plusieurs estimations de sa température variant entre quelques Kelvins et quelques dizaines de Kelvins

En 1950, des travaux menés par Enrico Fermi et Anthony Turkevich portant sur les réactions nucléaires entre éléments de taille $A \leq 7$ améliorent de façon significative la nature des processus en jeu dans ce modèle et de leur section efficace. Il apparait alors que ces réactions ne peuvent expliquer la formation d'éléments plus lourds que le béryllium (TODO: $A = 5,8$ posent pb).

Parallèlement, Hayashi suggère que des mécanismes (électrofaibles|fort?) ont instauré un équilibre qui a imposé le rapport $p/n$ avant la nucléosynthèse, en contradiction avec l'hypothèse initiale de Gamow d'un état initial constitué uniquement de neutrons dont la désintégration serait la seule source de protons. \begin{equation} p+e^- \rightleftharpoons n+\nu_e \end{equation} Ainsi, Hayashi trouve un ratio protons/neutrons $n_p/n_n \sim 4$ au lieu de $1/7$ environ comme estimé par Gamow, Alpher et Herman en ne considérant que la désintégration des neutrons. Or, cette valeur ne permet pas de rendre compte de l'abondance observée des éléments pour une nucléosynthèse par capture neutronique successive. Puisque la détermination de ce ratio $p/n$ est cruciale pour déterminer la vraisemblance de la nucléosynthèse par capture neutronique, Alpher, Herman et Follin publient un papier en 1953 visant à estimer l'état initial de l'Univers avant la nucléosynthèse (Ralph A. Alpher, James W. Follin et al.  1953) , selon les développements théoriques à leur disposition (qui leur permettent de décrire assez précisemment les phénomènes en jeu jusqu'à une température d'environ 100 MeV ~ $10^{12}$ K) et en étudiant la dépendance en certaines valeurs expérimentales mal connues (par exemple, le temps de demie-vie du neutron). Ils estiment que $p/n$ est compris entre $4,5$ et $6$, ce qui remet en effet en cause la nucléosynthèse par capture neutronique. Ce papier constitue cependant une base importante en tant que description alors la plus détaillée des premiers instants d'un big bang chaud.

Grâce aux travaux d'Alpher, Gamow et Herman, on sait décrire dès le début des années 1950 un Univers en évolution de type Big Bang dans son jeune âge. On sait que dans un contexte de refroidissement rapide depuis des températures très élevées des éléments légers peuvent se former (jusqu'à $A = 5$) par le biais d'un réseau de réactions nucléaires, mais pas des éléments plus lourds a priori. On sait par ailleurs qu'il doit subsister, d'après ce modèle, une densité de rayonnement non nulle à notre époque, équivalente à un rayonnement de corps noir dont la température actuelle devrait être de l'ordre de grandeur $1-10 K$. Cependant, à l'époque, l'idée de Big Bang demeure assez spéculative et souffre de plusieurs problèmes^[?] et la nucléosynthèse primordiale semble être une impasse puisqu'elle échoue apparemment à donner une explication exhaustive de la courbe d'abondance des éléments. Pour ces raisons, ces résultats n'attirent pas vraiment l'attention au moment de leur publication.

La transformation de Lorentz est la transformation qui relie les coordonnées d'un évènements dans deux référentiels inertiels en mouvement rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre dans le cadre de la relativité restreinte. Elle découle naturellement de l'hypothèse selon laquelle un corps se déplaçant à la vitesse de la lumière $c$ dans un tel référentiel doit se déplacer à cette vitesse dans tous ces référentiels.

On se donne deux référentiels $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$ partageant la même origine à $t=0$, de mêmes axes, et tels que $\mathcal{R}'$ s'éloigne de $\mathcal{R}$ dans la direction $x$ à vitesse constante $v$. Si $(t,x,y,z)$ sont les coordonnées d'un évènement $A$ dans $\mathcal{R}$, et $(t',x',y',z')$ ses coordonnées dans $\mathcal{R}'$, alors : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} ct' & = & \gamma (ct-\beta x)\\ x' & = & \gamma (x-\beta ct)\\ y' & = & y\\ z' & = & z \end{matrix}\right.\end{equation} Où $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ est le facteur de Lorentz et $\beta = v/c$ le nombre de Lorentz.

La notion de transformation de Lorentz se généralise à d'autres quantités que les coordonnées : on appelle Quadrivecteur tout vecteur dont les composantes sont changées par passage d'un référentiel inertiel à un autre selon la transformation de Lorentz. C'est le cas par exemple des quadrivecteurs vitesses et accélérations $dx^\mu/ds$ et $d^2x^\mu/ds^2$, du quadrivecteur énergie-impulsion $p^\mu = (E/c, -\vec{p})$, ou encore du quadrivecteur potentiel $A^\mu = (\phi/c, -\vec{A})$.

La transformation de Lorentz laisse invariante la pseudo-norme d'un quadrivecteur. C'est par exemple le cas de $dx_\mu dx^\mu = ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$, l'intervalle infinitésimal d'espace temps. On peut construire d'autres invariants comme le produit scalaire de deux 4-vecteur $A_\mu B^\mu = A^t B^t - A^x B^x - A^y B^y - A^z B^z$.

La loi de transformation relativiste des vitesses se déduit directement de cette transformation. On suppose, sans perdre de généralité, la même définition des référentiels $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$ que celle précédemment donnée; on suppose de plus qu'un corps se déplace à la vitesse $\vec{u} = (u_x,u_y,u_z)$ dans $\mathcal{R}$ et on cherche sa vitesse $\vec{u}'$ dans $\mathcal{R}'$. On remarque que $u_i = dx_i/dt$ et $u_i' = dx_i'/dt'$. De là : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \dfrac{dx'}{dt'} & = & \dfrac{c\gamma (dx-\beta c dt)}{\gamma(c dt-\beta dx)} = \dfrac{c(u_x dt-\beta c dt)}{(c dt-\beta u_x dt)}\\ \dfrac{dy'}{dt'} & = & \dfrac{c dy}{(c dt-\beta dx)} = \dfrac{c u_y dt}{(c dt-\beta u_x dt)}\\ \dfrac{dz'}{dt'} & = & \dfrac{c dz}{(c dt-\beta dx)} = \dfrac{c u_z dt}{(c dt-\beta u_x dt)}\\ \end{matrix}\right.\end{equation} Ce qui donne : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} u_x' & = & \dfrac{u_x-v}{1-v u_x/c^2}\\ u_y' & = & \dfrac{u_y}{\gamma (1-v u_x/ c^2 )}\\ u_z' & = & \dfrac{u_z}{\gamma (1-v u_x/ c^2 )}\\ \end{matrix}\right.\end{equation}