Les traces de la matière noire

Aujourd'hui, nombreuses sont les observations qui révèlent par le biais de la gravitation la présence d'une quantité importante de matière invisible.

• Courbes de rotation des galaxies : La distribution des vitesses observée au sein des galaxies indique une présence de masse significativement plus importante que celle estimée à partir des ondes électromagnétiques qu'elles émettent ("lumière"), et s'étendant aux-delà des bords visibles.
• Densité de matière froide de l'Univers : Les observations cosmologiques et la structure de l'Univers révèlent que parmi la matière "froide" (non relativiste) qui compose l'Univers, un peu moins de 20 % seulement est visible (étoiles, planètes, gaz interstellaire). Le reste est inexpliqué !
• Effet de lentille gravitationnelle : Des rayons lumineux passant près d'une masse importante sont déviés. Cet effet dit de "lentille gravitationnelle" permet donc de déceler la présence de matière même si celle-ci est invisible directement (voir image ci-contre).
• Matière froide et matière baryonique : Bien que nombreuses et complexes, les réactions nucléaires quit ont eu lieu alors que la température de l'Univers était de l'ordre de 0,1 MeV qui ont conduit à la formation des éléments légers (Deutérium, Hélium) peuvent être résolues numériquement. On trouve alors que pour être en accord avec les observations expérimentales, la densité de matière baryonique $\Omega_B$ doit être inférieure à $0,04$ ($\rho_{B} \sim 4 \times 10^{-27} \textrm{kg}.\textrm{m}^{-3}$) (C. Copi, D. Schramm et al.  1995) . Ceci ne représente que 4 $\%$ de la densité critique^[?], en accord avec d'autres estimations obtenue à l'aide de la mesure des anisotropies du fond diffus cosmologique par exemple. Pourtant, la matière "froide" doit représenter environ 30$\%$ de la densité critique d'après de nombreuses mesures indépendantes.

Candidats pour la matière noire

Les théories proposées pour expliquer l'origine de la matière noire sont nombreuses. La liste suivante n'est pas exhaustive mais regroupe certaines des suggestions suscitant ou ayant suscité le plus d'attention, afin d'illustrer la variété des alternatives. De façon générale, les différents candidats se classent en plusieurs catégories, qui sont la matière noire chaude, tiède et froide. La matière noire chaude fait référence à des particules relativistes ($P/\rho \to 1/3$) et la matière froide à des particules non relativistes ($P\to 0$). Les neutrinos sont de bons candidats à la matière noire chaude, dont l'existence est déjà démontrée. Il est en effet difficile de connaître précisément leur abondance dans l'Univers. Cependant, la formation des structures et les paramètres cosmologiques décrivant le mieux l'évolution de l'Univers nécessitent une part importante de matière noire froide, et c'est sous cette forme que sont la plupart des candidats. Il existe également des candidats impliquant une modification de la gravitation, comme MOND ou les théories $f(R)$.

WIMPs

Il a été proposé que la matière noire soit principalement constituée de particules massives interagissant faiblement (Weakly Interacting Massive Particles, WIMP). Ces particules auraient été formées à l'époque où l'Univers était suffisamment chaud. Un équilibre thermique entre annihilation de paire de WIMP et leur formation aurait imposé leur densité jusqu'à ce que celle-ci devienne trop faible pour que la réaction d'annihilation se produise : leur quantité demeure alors constante ("freeze-out"). Les WIMP sont attendues à l'échelle électrofaible ($\sim$ TeV), et pourraient donc être expliquées par des théories de type SUSY. Leur masse est en effet bornée par une limite supérieure : des particules très massives ($> 100$ TeV) seraient trop stables et présentes en trop large quantité aujourd'hui par rapport à celle de matière noire.

Cependant, si le freeze-out intervient hors-équilibre, cette contrainte sur la masse est levée. Il a donc été proposé que la matière noire soit en fait des WIMP très massifs appelés WIMPZILLAS.

La recherche de WIMP peut se faire de façon indirecte dans des accélérateurs (voir l'annexe sur ATLAS pour des explications détaillées), ou en observant le rayonnement cosmique (Fermi, AMS, ...). Elle peut aussi se faire de façon directe en mesurant la diffusion de matière noire par de la matière ordinaire, dans de gros réseaux cristallins à basse température en profondeur (exemple : LUX)

Axions

Bien que leur existence n'ait pas été initialement suggérée en réponse au problème de la matière noire, mais en réalité pour résoudre le problème CP fort, les axions seraient un bon candidat pour la matière noire. Ils seraient a priori très peu massifs ($m < $ eV) mais feraient intervenir un champ scalaire de pression nulle, et donc seraient équivalent à de la matière froide, là où les neutrinos ultrarelativistes ne sont que de bons candidats pour la matière noire chaude. Leur prédiction repose sur le fait que selon le modèle standard, le neutron possède un moment dipolaire électrique $d_n$ non nul, proportionnel à un paramètre sans dimension noté $\bar{\theta}$. La mesure de $d_n$ est obtenue en comparant la fréquence de précession de Larmor de neutrons plongés dans un des champs (E,B) parallèles ou de sens opposés. La valeur ainsi obtenue donne $\bar{\theta} < 10^{-10}$. Cette valeur étant très faible, Roberto Peccei et Helen Quinn ont suggéré en 1977 (R. D. Peccei, Helen R. Quinn  1977) qu'il puisse prendre son origine dans un champ scalaire (le champ d'axion) associé à une nouvelle symétrie $U(1)$. Le paramètre $\bar{\theta}$ serait proportionnel à la valeur moyenne de ce champ qui tendrait vers 0, et dont l'équation d'état serait celle d'un condensat de pression nulle, donc équivalent à de la matière noire froide. Le couplage des axions avec la matière entraîne des prédictions testables, notamment dans des processus stellaires (Georg G. Raffelt  ) .

MACHOs

Les MACHOs ("Massive Astrophysical Compact Halo Object") sont des objets massifs compacts émettant très peu de rayonnement proposés pour expliquer la matière noire. Ils pourraient être des naines brunes, des trous noirs, ou des planètes interstellaires situés dans le Halo galactique. Leur dénomination est un clin d'oeil aux WIMPs (ou l'inverse), "wimp" signifiant mauviette en anglais. Leur recherche repose notamment sur l'effet de micro lentille gravitationnelle.

Trous noirs primordiaux

Les trous noirs primordiaux sont des trous noirs qui se seraient formés au début du Big-Bang et constituent un type spécifique de MACHO. Encore non observés, ils demeurent cependant un éventuel candidat pour la matière noire. Un mécanisme de formation possible est l'effondrement de fluctuations de densité de l'ordre de la distance d'Horizon à l'époque de formation, antérieure à la nucléosynthèse primordiale. Une autre est la fusion et l'effondrement de "bulles de vide" formées lors d'une transition de premier ordre d'un champ d'un équilibre métastable (un "faux-vide" avec une énergie moyenne $> 0$) et le "vrai-vide" (état stable d'énergie nulle). Le processus de formation détermine la distribution de leur masse attendue notée $M_{PBH}$, qui peut s'étaler sur un très grand spectre a priori. Des trous noirs primordiaux de masse $M_{PBH}$ inférieure à $\sim 10^{-16} M_{\odot}$ se seraient déjà évaporés, un intervalle de plusieurs dizaines d'ordre de grandeurs au-dessus de ce seuil est encore permis. En raison de l'importance de cet intervalle des techniques très différentes sont employées pour en contraindre des régions particulières. L'état de la recherche sur le sujet est représenté par la figure suivante :

D'après ces résultats, seules deux fenêtres sont autorisées, privilégiant des trous noirs "légers". Cependant les résultats obtenus par étude de l'impact des rayons X émis lors de l'accrétion de matière par des trous noirs primordiaux sur le fond diffus cosmologique sont contestés, et l'intervalle aux alentours de plusieurs dizaines de masses solaires n'est pas tout-à-fait exclu. Il a même été suggéré que les deux fusions de trous noirs observées par LIGO en 2015 pourraient en être, auquel cas, l'augmentation en sensibilité des détecteurs LIGO et VIRGO pourraient permettre de découvrir si en effet des trous noirs primordiaux dans cet intervalle expliquent une portion de la matière noire ou d'obtenir de nouvelles limites dans le cas contraire.

Gravité $f(R)$

La Relativité Générale est contenue dans l'action d'Hilbert-Einstein de forme : \begin{equation} S = \int \dfrac{c^4}{16\pi G} f(R) \sqrt{-g} d^4x \end{equation} Les équations du mouvements (équation d'Einstein) s'obtiennent alors par application du principe de moindre action, avec $f(R) = R$. L'idée des théories $f(R)$ est d'utiliser une fonction différente pour $f$, par exemple $f(R) = R-\alpha R^2$. Ces modifications pourraient avoir un effet semblable à la présence de matière noire en relativité générale (C BOHMER, T HARKO et al.  2008) , (Jose A. R. Cembranos  2009) . Bien que de nombreuses motivations théoriques existent, ces modèles ne peuvent expliquer de fraction significative de la matière noire sans introduire d'effets incompatibles avec les observations. Ces modèles ont beaucoup de mal à se conformer aux observations des anisotropies du rayonnement fossile par exemple.

MOND (MOdified Newtonian Dynamics)

Une des observations à l'origine du problème de la "matière noire" est celle de la courbe de rotation des galaxies et notamment les travaux Vera Rubin à la fin des années 1970. Ces courbes indiquent une vitesse "trop rapide" à distance du centre des galaxies, avec une courbe de vitesse en "plateau" alors qu'elles devraient diminuer comme $1/\sqrt{r}$ loin du centre. ($v \sim \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ loin des zones de forte densité). En 1983, Mordehai Milgrom montre qu'une modification du principe fondamental de la dynamique ($F=ma$) permettrait de résoudre ce problème (M. Milgrom  1983) . Il suggère de la réécrire comme : \begin{equation} \vec{F} = \mu(a/a_0) m\vec{a} \end{equation} Où $a_0$ est une nouvelle constante qui doit être ajustée aux données et $\mu$ une fonction proche de 1 lorsque $a/a_0 \gg 1$ et proche de l'identité lorsque $a/a_0 \ll 1$. Dans ce cas, elle se réécrit alors : \begin{equation} \vec{F} \simeq a/a_0 m\vec{a} \end{equation} La vitesse à large distance du centre galactique d'une masse test $m$ est alors donnée par : \begin{equation} \dfrac{GMm}{r^2} \simeq \mu(v^2/r/a_0) m\dfrac{v^2}{r} \end{equation} En effet, $a = v^2/r$ pour un mouvement circulaire uniformément accéléré. Dans le cas où cette accélération est faible (loin du centre) on trouve : \begin{equation} v \simeq (a_0 GM)^{1/4} \end{equation} Ceci ne dépend pas de $r$ et expliquerait le plateau observé par Vera Rubin sur le tracé de $r\mapsto v(r)$. Un bon accord avec les courbes de rotation est trouvé pour $a_0 \sim 10^{-10} \textrm{ cm.s}^{-2}$. Cette valeur est intriguante car du même ordre de grandeur que $cH_0$. MOND est parfois formulé en terme de modification de la gravité, avec une décroissance en $1/r$ plutôt que $1/r^2$ à large distance. La théorie MOND a évolué et des versions relativistes existent (Mordehai Milgrom  2015) dont TeVeS, proposée par Bekenstein (Jacob D. Bekenstein  2004) . Des observations récentes portées sur 153 galaxies semblent encourager cette hypothèse plutôt que celle d'une masse manquante ("Radial acceleration relation in rotationally supported galaxies"). MOND est en revanche très peu attrayante d'un point de vue théorique et échoue à l'échelle des clusters de galaxie.

Le fond diffus cosmologique (ou "cosmic microwave background", souvent abbrégé CMB) est un rayonnement de type corps noir (sous forme de photons) globalement homogène et isotrope, qui s'est découplé^[?] de la matière environ 380 000 ans après le big bang. Depuis, avec l'expansion de l'Univers, celui-ci a refroidi pour atteindre sa température actuelle de 2,7 K. Ce rayonnement a été observé pour la première fois dans les micro-ondes, d'où son appellation anglophone. Il prend son origine dans l'état chaud de l'Univers, et a été libéré lorsque la densité de protons et électrons est devenue suffisamment faible avec le refroidissement pour que les photons interagissent peu avec la matière et voyagent librement. Cette transition est appelée "découplage" et est survenue à $z = 1100$ environ.

Le CMB est décrit comme la plus ancienne image de l'Univers. En effet, les photons émis avant le découplage interagissaient très rapidement avec les particules chargées du milieu (électrons, protons), et leur libre parcours moyen était donc très faible. Après le découplage, les interactions deviennent rares et le libre parcours moyen deviant supérieur à la taille de l'Univers. Les photons peuvent ainsi voyager librement, et le rayonnement de fond observé aujourd'hui correspond assez fidèlement à l'image des photons émis alors.

Premières observations et prédictions

Avant les travaux de Alpher, Gamow et Herman à la fin des années 1940, on pense que le rayonnement dans l'Univers est essentiellement d'origine stellaire (interprétation d'Eddington). La température du milieu interstellaire serait donc la température d'équilibre d'un objet dans ce milieu avec le rayonnement provenant des étoiles. Cette température vérifierait donc : \begin{equation} \sigma T_{univers}^4 = p \end{equation} Où $p$ est la puissance moyenne reçue par unité de surface d'origine stellaire en moyenne dans le milieu interstellaire (il s'agit de la puissance totale, la forme du spectre n'ayant ici pas d'importance). Celle-ci doit valoir, si la luminosité moyenne des étoiles est proche de celle du Soleil, de l'ordre de $L_{\odot}/d^2$ où $L_{\odot}$ est la puissance émise par le Soleil et $d$ la distance moyenne entre étoiles. Selon la région sur laquelle la moyenne $d$ est calculée, la valeur peut beaucoup varier - pour l'Univers observable, $d \sim $ 300 al. Mais globalement cela conduit à une valeur $T_{univers}$ de l'ordre de 0,1 K à quelques kelvins (la valeur étant bien sure plus élevée dans les zones où la densité d'étoiles est plus grande). Dans ce cas, le rayonnement possède une caractéristique particulière : son spectre est celui des étoiles qui l'émettent, c'est-à-dire entre l'IR, le visible et l'UV (soit des températures de rayonnement de quelques milliers à quelques dizaines de Kelvins).

La première observation indiquant la présence du fond diffus cosmologique fut faite en 1940 par McKellar, bien qu'elle ne fut pas comprise comme telle à l'époque. McKellar étudiait avait employé un spectrographe installé à l'Observatoire du Mont Wilson pour mesurer le spectre de plusieurs régions du ciel. Les mesures indiquent notamment la présence d'un doublet associé à des transitions rotationnelles de la molécule $CN$, aux alentours de 4000 MHz. McKellar évalue à partir de cette observation une témparature limite pour le milieu interstellaire d'environ 2,3 K, mais reconnait ne pas être capable de déterminer si cette valeur a vraiment un sens.

La première prédiction cosmologique d'un fond de rayonnement est due à Alpher et Herman. En établissant avec Gamow leur théorie de la nucléosynthèse primordiale dans un Univers en Big Bang, ceux-ci remarquèrent que l'Univers devait être très chaud et surtout dominé par le rayonnement à son orgine. Ils soulignèrent alors que ceci impliquerait la présence aujourd'hui d'un fond de rayonnement vestige de cette ère où les photons étaient très énergétiques et gouvernaient l'expansion. A partir de 1948 ils firent plusieurs estimations de la température actuelle de ce rayonnement, estimée entre quelques Kelvins et quelques dizaines de Kelvins. Cependant, leur théorie de la nucléosynthèse semblait une impasse à l'époque, et leurs travaux ne reçurent pas beaucoup d'attention. La différence majeure avec l'interprétation stellaire du fond de rayonnement est le spectre de celui-ci. Dans le cas d'un rayonnement issu des étoiles, le spectre est globalement autour du visible. Dans l'interprétation d'un rayonnement relique du Big Bang, le spectre est celui d'un corps noir à la température du fond (quelques K). Ainsi, cette température peut être mesurée en trouvant la température $T$ telle qu'un corps noir à cette température corresponde au fond diffus (attendu dans les micro-ondes). Cette valeur doit être plus homogène encore que la température d'équilibre stellaire d'Eddington puisqu'elle ne dépend pas de la position relative de l'observateur avec les étoiles.

Découverte de 1964

Voir l'article

Au cours de l'année 1964, deux astronomes américains, Arno Penzias et Robert Wilson, travaillent sur l'antenne cornet d'Holmdel pour les laboratoires Bell. L'objectif de cet antenne construite en 1959 était de détecter l'écho radar de satellites en forme de ballon agissant comme réflecteur. Les deux physiciens devaient cependant s'en servir pour observer la voie lactée à des longueurs d'ondes aux alentours de 7 cm.
Une des difficultés de cette taĉhe est que le faible niveau du signal requiert l'élimination de nombreuses sources de bruit, et notamment du bruit d'origine thermique, par exemple en refroidissant certains instruments jusqu'à 4 K (hélium liquide). Malgré toutes ces précautions, les deux phyisiciens observèrent en mesurant le signal à une longueur d'onde de 7,35cm (4080 MHz) un bruit irréductible équivalent à une température d'environ 3,5 $\pm$ 1 K, indépendant des saisons, dépendant faiblement de la direction, ce qui semblait écarter une origine galactique. (todo + atmo + récepteur).

Parallèlement, Dicke, Peebles, Roll et Wilkinson réétablissent indépendamment l'existence d'un fond de rayonnement photonique dans l'hypothèse d'un Univers né d'un Big Bang chaud. Ils entreprennent même d'établir un instrument pour mesurer cet hypothétique rayonnement. Penzias finit par avoir vent de leurs recherches, et finit par contacter Dicke par téléphone pour lui exposer leur problème. Celui-ci comprend que le bruit mesuré par Penzias et Wilson doit être ce fameux rayonnement qu'ils cherchaient à mesurer. En 1965, les deux groupes publient simultanément un papier tenant compte de leurs résultats, marquant la découverte du fond diffus cosmologique ou CMB (pour Cosmic Microwave Background).

De nouvelles mesures

La première observation du CMB considérée comme une découverte fut réalisée à une seule longueur d'onde (7,35 cm, soit 4080 MHz) avec l'antenne d'Holmdel. Il était alors possible d'en déduire la température d'un corps noir correspondant mais pas de vérifier que le spectre du rayonnement était bien celui d'un corps noir. Rapidement Penzias et Wilson réalisent une nouvelle mesure avec le même dispositif cette fois à une longueur d'onde

Anisotropies du fond diffus cosmologique

Le fond diffus cosmologique n'est, comme notre Univers, par parfaitement homogène. La carte qu'on en dresse contient donc des anisotropies. Leur mesure peut nous renseigner sur de nombreux paramètres cosmologiques classiques (contenu de l'Univers, constante de Hubble) mais aussi sur les fluctuations primordiales de densité, ces déviations initiales par rapport à l'homogénéité, qui ont donné naissance aux grandes structures de l'Univers.

A l'origine, les inhomogénéités de l'Univers prennent leur source dans ce qu'on appelle les fluctuations primordiales de densité. Ces fluctuations sont représentées par des perturbations au premier ordre de la densité, de la vitesse locale de la matière et du potentiel $\phi$ : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \rho(t, \vec{x}) & = & \bar{\rho}(t)+ \delta\rho (t,\vec{x}) \\ \vec{v}(t, \vec{x}) & = & \vec{\bar{v}}(t,\vec{x}) + \vec{\delta v}(t,\vec{x}) \\ \phi(t,\vec{x}) & = & \bar{\phi}(\vec{x}) + \delta \phi(t,\vec{x})\\ \end{matrix}\right.\end{equation} Où $\vec{x}$ sont les coordonnées comobiles. On peut en déduire une solution perturbative au premier ordre en ces variations en injectant ces définitions dans les équations qui régissent le fluide, à savoir les équations d'Euler et de poisson suivantes : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \dot{\rho} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0 \mbox{ (équation de continuité) } \\ \dot{\vec{v}} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = -\nabla (\phi + \dfrac{P}{\rho}) \mbox{ (principe fondamental de la dynamique) }\\ \nabla^2 \phi = 4\pi G \rho \mbox{ (équation de Poisson) }\\ \end{matrix}\right.\end{equation} Il apparait alors que la solution dans l'espace "fréquentiel" (après transformée de fourier spatiale $\vec{x}\to\vec{k}$ de $\delta \rho$) est : \begin{equation} \ddot{\delta\rho}(\vec{k}) + 2 H \dot{\delta\rho}(\vec{k}) + \left ( \dfrac{v_s^2 \vec{k}^2}{a^2} - 4\pi G\bar{\rho}\right ) \delta\rho(\vec{k}) = 0 \end{equation} On en déduit deux types de solutions :

• Si $k < a\sqrt{4\pi G\bar{\rho}}/v_s$, alors les solution sont une croissance sans fin des perturbations.
• Sinon, les solutions sont des oscillations amorties avec une "constante" de temps $1/H$.

Afin d'exploiter statistiquement les anistropies du CMB, on utilise leur spectre de puissance. Celui-ci provient de la décomposition de la carte de températures en harmoniques sphériques : \begin{equation} a_{lm} = \int \Theta(\theta,\phi) Y_{lm}^{*} (\theta,\phi) d^2 \Omega \end{equation} Ici, $\Theta$ est l'écart à la température moyenne dans une direction donnée : \begin{equation} \Theta(\theta,\phi) = \dfrac{T(\theta,\phi)-\bar{T}}{\bar{T}} \end{equation} D'où on tire le spectre de puissance : \begin{equation} C_l = \sum_{-l \leq m \leq l} \dfrac{|a_{lm}|^2}{2l+1} \end{equation} Le multipôle $l$ représente une échelle angulaire $\pi/l$, donc les coefficients à bas $l$ indiquent la corrélation entre des portions du ciel de grande envergure. Lorsque $l$ est petit, la somme se fait sur un nombre petit de termes, car peu de 'modes $m$' indépendants sont disponibles. Cela implique une erreur statistique de l'ordre de $\sqrt{2/(2l+1)}$ sur $C_l$, qui est indépassable par l'expérience. C'est la variance cosmique.

Spectre de puissance et paramètres du modèle standard de la cosmologie

(Max Tegmark  1995)

La mesure du spectre de puissance des anisotropies du fond diffus cosmologique permet d'en déduire les valeurs des paramètres cosmologiques du modèle standard. Cette section montre comment ces paramètres impactent la forme du spectre. Les graphiques ont été générés à l'aide du programme CAMB (Anthony Challinor, Antony Lewis  2005) . Il représentent la courbe $l\mapsto D_l = l(l+1)C_l/2\pi$.

Constante de Hubble

On observe, d'après ces courbes, un décalage progressif vers la gauche de la courbe lorsque $H_0$ augmente. C'est assez facile à comprendre : plus la vitesse de l'expansion est élevée, plus les anisotropies grandissent rapidement. Par conséquent, pour une valeur de $H_0$ un peu plus élevée, une même fluctuation densité primordiale engendrera une "tâche" un peu plus grande, et apparaîtra un peu plus à gauche ($l \sim \pi / \theta$) sur le spectre.

Répartition de l'énergie

Courbure

Les photons du CMB suivent grossièrement des géodésiques de la métrique FLRW après la recombinaison. Ces géodésiques convergent dans le cas d'une géométrie sphérique, et divergent pour une géométrie hyperbolique. La taille angulaire $\Delta \theta$ d'une fluctuation originant d'une perturbation de taille $\Delta L$ vérifie grossièrement $\Delta \theta \sim \Delta L/d_A(z_{recomb})$ où $d_A(z_{recomb})$ est la distance angulaire d'un objet de taille $\Delta L$ à la recombinaison et vaut : \begin{equation} d_A(z_{recomb}) = c a(t_{recomb}) S_k(\int_{t_{recomb}}^{t_0} \dfrac{dt}{a(t)}) \end{equation} L'expression de $S_k$ dépend de la géométrie de l'Univers. La valeur de l'intégrale est principalement déterminée par l'ère pendant laquelle $a$ était petit après la recombinaison, et alors la matière dominait. Cette intégrale vaut alors simplement $ \int_{t_{recomb}}^{t_0} \dfrac{dt}{a(t)} = \int_{0}^{z_{recomb}} \dfrac{dz}{H_0\sqrt{\Omega_m} (1+z)^{3/2}} \simeq 2/H_0\sqrt{\Omega_m}$. Par ailleurs : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} S_k(\chi) & = & R \sin \dfrac{\chi}{R} \mbox{ si } k<0\\ S_k(\chi) & = & \chi \mbox{ si } k=0\\ S_k(\chi) & = & R \sinh \dfrac{\chi}{R} \mbox{ si } k>0 \end{matrix}\right.\end{equation} Et $R = \dfrac{c}{H_0\sqrt{|\Omega_k|}}$ si bien que : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \Delta \theta & \propto & \sqrt{|\Omega_k|}/\sin 2\sqrt{\dfrac{|\Omega_k|}{\Omega_m}} \mbox{ si } k<0\\ \Delta \theta & \propto & \sqrt{\Omega_m}/2 \mbox{ si } k=0\\ \Delta \theta & \propto & {\sqrt{|\Omega_k}|}/\sinh 2\sqrt{\dfrac{|\Omega_k|}{\Omega_m}} \mbox{ si } k>0 \end{matrix}\right.\end{equation} Ainsi, une géométrie sphérique ($\Omega_k < 0$) augmente la taille angulaire des anisotropies, et donc déplace le spectre de puissance vers la gauche, à l'inverse d'une géométrie hyperbolique.

Épaisseur optique

Fluctuations primordiales

Comme le souligne l'échelle verticale logarithmique, multiplier la valeur de cette amplitude d'une certaine quantité a pour effet principal de multiplier le spectre de puissance de la même quantité. Les modèles inflationnaires prédisent des perturbations primordiales de la forme $P(k) \propto k^{-3} \left (\frac{k}{k_0}\right) ^{n_s-1}$. Des petites valeurs de $k$ sont corrélées à des grandes échelles angulaires, si bien qu'une valeur de $n_s$ plus grande augmente les perturbations à petite échelle angulaire (haut $l$). Au contraire, une valeur de $n_s$ inférieure favorise les grandes échelles angulaires.