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La constante de Hubble est la constante de proportionnalité $H_0$ qui lie le décalage spectral $z=\lambda_{rec}/\lambda_{em}$ d'un objet céleste
vu par un observateur à la distance entre les deux, dans la limite où cette distance est petite. Historiquement, la fuite
des galaxies était interprétée en terme d'effet Doppler à faible vitesse pour lequel $z \simeq v/c$. On écrivait donc $v = z c = H_0 d$. Sa première estimation "précise" est due
à Hubble en 1929 et était d'environ 500 km/s/Mpc, mais la méthode qui conduisit à cette valeur comportait une erreur. Aujourd'hui
on l'évalue à 70 km/s/Mpc.
Démonstration de la relation entre taux d'expansion et distance et de la loi de Hubble
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Un objet émet un signal lumineux dès l'instant $t_e$ et celui-ci est reçu par l'observateur à l'instant postérieur $t_r$.
Le signal ayant une certaine période $T_e$, un second "bip" est émis à un instant $t_e+T_e$ et est reçu par l'observateur
à un instant $t_r+T_r$.
On suppose l'observateur ainsi que la source immobiles dans l'espace en expansion (càd "comobiles"). Les deux signaux parcourent
donc la même distance comobile $\chi$ :
\begin{equation}
\chi = \displaystyle\int_{t_e}^{t_r} \dfrac{cdt'}{a(t')} = \displaystyle\int_{t_e+T}^{t_r+T'} \dfrac{cdt'}{a(t')} \mbox{ (1)}
\end{equation}
L'intégrale de droite peut être décomposée en trois si bien que :
\begin{equation}
\displaystyle\int_{t_e}^{t_r} \dfrac{cdt'}{a(t')} = \displaystyle\int_{t_e+T_e}^{t_e} \dfrac{cdt'}{a(t')} + \displaystyle\int_{t_e}^{t_r}
\dfrac{cdt'}{a(t')} + \displaystyle\int_{t_r}^{t_r+T_r} \dfrac{cdt'}{a(t')}
\end{equation}
Donc
\begin{equation}
\displaystyle\int_{t_e}^{t_e+T_e} \dfrac{cdt'}{a(t')} = \displaystyle\int_{t_r}^{t_r+T_r} \dfrac{cdt'}{a(t')}
\end{equation}
La période $T$ a vocation à être très petite devant le temps de variation de $a$ (l'expansion de l'Univers pendant un cycle
de lumière - $10^{14}$ Hz dans le visible - est négligeable).
Ainsi l'expression ci-dessus devient :
\begin{equation}
\dfrac{T_r}{T_e} = \dfrac{a(t_r)}{a(t_e)}
\end{equation}
Soit en terme de l'ongueur d'onde et de redshift $z$ :
\begin{equation}
1+z \equiv \dfrac{\lambda_r}{\lambda_e} = \dfrac{a(t_r)}{a(t_e)}
\end{equation}
On constate qu'un Univers en expansion se traduit bien par un allongement des longueurs d'ondes.
Pour de faibles distances, $t_r - t_e \simeq d/c$, et donc $a(t_e) \simeq a(t_r) - d \dot{a}(t_r)/c$.
Par ailleurs si $t_r$ correspond au temps présent, alors $a(t_r) = 1$ et $\dot{a}(t_r) = H_0$ donc :
\begin{equation}
z = \dfrac{\lambda_r-\lambda_e}{\lambda_e} \simeq H_0 d / c
\end{equation}
Avant les années 1990, la valeur de la constante de Hubble était très mal connue. De cette époque on a maintenu l'habitude d'employer par commodité le paramètre sans dimension $h =
\dfrac{H_0}{\textrm{100 km/s/Mpc}}$ qu'on s'attendait valoir entre 0.5 et 1.
Aujourd'hui, les mesures employent des méthodes assez diverses (plus uniquement l'utilisation de céphéïdes comme chandelles
standard), et les valeurs sont en assez bon accord, malgré une petite tension :
Je me souviens d'un post très drôle de LPFR sur Futura-Sciences qui disait en substance, en réponse à une personne qui demandait
si la constante de Hubble était variable (cette personne confondait bien-sûr le paramètre de Hubble $H(t)$ et la constante de Hubble qui est sa valeur au temps présent donc bien une constante) :
La
constante de Hubble a beaucoup plus changé au cours des décennies qui ont suivi sa découverte que depuis le Big-Bang.
C'est assez drôle mais assez vrai. La première valeur de Hubble était près de dix fois trop grande, et après les travaux de
Sandage (qui restreignait $H_0$ à l'intervalle 50-100 km/s/Mpc), il fallut encore plusieurs décennies pour décider à quelques
pourcents près.
