En 1912, Vesto Slipher mesure la vitesse de la galaxie Andromède par rapport à nous. Pour cela, il utilise la spectroscopie : en étudiant le spectre d'Andromède, il observe que certaines raies d'émission associées à des atomes bien connus sont légèrement déplacées. C'est le cas par exemple de la raie $H\alpha$ qui correspond à une transition électronique particulière dans l'atome d'hydrogène, qui émet à une longueur d'onde de 656,3 nm mais qui est observée à une longeur d'onde légèrement inférieure (un décalage d'un millième en valeur relative !). V. Slipher pense que cet écart est dû à l'effet Doppler : une onde émise par une source en mouvement est perçue à une longueur d'onde différente de la longueur d'onde d'émission. Il connait aussi la relation entre la vitesse radiale d'éloignement de la source et la différence de longueur d'onde : \begin{equation} v_{radiale} = \dfrac{\lambda_{rec} - \lambda_0}{\lambda_0} c \end{equation} Pour Andromède, il trouve une valeur d'environ -300 km/s ! Le signe moins indique qu'elle se rapproche de nous. Cette valeur est un peu surprenante : elle est un ordre de grandeur supérieur à la vitesse typique des étoiles et des nébuleuses planétaires dont on avait mesuré les spectres. Cela a une conséquence importante, puisque cette vitesse exclut que les galaxies soient fortement liées gravitationnellement à la nôtre. On comprend alors à ce moment que cela favorise l'hypothèse selon laquelle ces objets sont relativement indépendants et de même nature que la Voie Lactée. Il n'était en effet pas exclu à l'époque que ces galaxies qu'on appelait alors "spirales nébuleuses" ne fassent partie de la Voie Lactée.

Slipher continue ses observations sur les galaxies. En 1917, il a observé le spectre de 25 d'entre elles. Le résultat est étonnant : seules 4 parmi les 25 se rapprochent de nous. Toutes les autres s'éloignent ! Puisque la plupart des galaxies s'éloignent, les raies lumineuses (donc entre le rouge et le bleu) qu'elles émettent sont décalées vers des longueurs d'ondes plus grandes c'est-à-dire vers le rouge : on parle de décalage vers le rouge ou encore de redshift. Slipher trouve des vitesses dépassant 1000 km/s : il est clair que ces "spirales nébuleuses" sont des objets indépendants de notre galaxie, la Voie Lactée.

La transformation de Lorentz est la transformation qui relie les coordonnées d'un évènements dans deux référentiels inertiels en mouvement rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre dans le cadre de la relativité restreinte. Elle découle naturellement de l'hypothèse selon laquelle un corps se déplaçant à la vitesse de la lumière $c$ dans un tel référentiel doit se déplacer à cette vitesse dans tous ces référentiels.

On se donne deux référentiels $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$ partageant la même origine à $t=0$, de mêmes axes, et tels que $\mathcal{R}'$ s'éloigne de $\mathcal{R}$ dans la direction $x$ à vitesse constante $v$. Si $(t,x,y,z)$ sont les coordonnées d'un évènement $A$ dans $\mathcal{R}$, et $(t',x',y',z')$ ses coordonnées dans $\mathcal{R}'$, alors : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} ct' & = & \gamma (ct-\beta x)\\ x' & = & \gamma (x-\beta ct)\\ y' & = & y\\ z' & = & z \end{matrix}\right.\end{equation} Où $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ est le facteur de Lorentz et $\beta = v/c$ le nombre de Lorentz.

La notion de transformation de Lorentz se généralise à d'autres quantités que les coordonnées : on appelle Quadrivecteur tout vecteur dont les composantes sont changées par passage d'un référentiel inertiel à un autre selon la transformation de Lorentz. C'est le cas par exemple des quadrivecteurs vitesses et accélérations $dx^\mu/ds$ et $d^2x^\mu/ds^2$, du quadrivecteur énergie-impulsion $p^\mu = (E/c, -\vec{p})$, ou encore du quadrivecteur potentiel $A^\mu = (\phi/c, -\vec{A})$.

La transformation de Lorentz laisse invariante la pseudo-norme d'un quadrivecteur. C'est par exemple le cas de $dx_\mu dx^\mu = ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$, l'intervalle infinitésimal d'espace temps. On peut construire d'autres invariants comme le produit scalaire de deux 4-vecteur $A_\mu B^\mu = A^t B^t - A^x B^x - A^y B^y - A^z B^z$.

La loi de transformation relativiste des vitesses se déduit directement de cette transformation. On suppose, sans perdre de généralité, la même définition des référentiels $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$ que celle précédemment donnée; on suppose de plus qu'un corps se déplace à la vitesse $\vec{u} = (u_x,u_y,u_z)$ dans $\mathcal{R}$ et on cherche sa vitesse $\vec{u}'$ dans $\mathcal{R}'$. On remarque que $u_i = dx_i/dt$ et $u_i' = dx_i'/dt'$. De là : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \dfrac{dx'}{dt'} & = & \dfrac{c\gamma (dx-\beta c dt)}{\gamma(c dt-\beta dx)} = \dfrac{c(u_x dt-\beta c dt)}{(c dt-\beta u_x dt)}\\ \dfrac{dy'}{dt'} & = & \dfrac{c dy}{(c dt-\beta dx)} = \dfrac{c u_y dt}{(c dt-\beta u_x dt)}\\ \dfrac{dz'}{dt'} & = & \dfrac{c dz}{(c dt-\beta dx)} = \dfrac{c u_z dt}{(c dt-\beta u_x dt)}\\ \end{matrix}\right.\end{equation} Ce qui donne : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} u_x' & = & \dfrac{u_x-v}{1-v u_x/c^2}\\ u_y' & = & \dfrac{u_y}{\gamma (1-v u_x/ c^2 )}\\ u_z' & = & \dfrac{u_z}{\gamma (1-v u_x/ c^2 )}\\ \end{matrix}\right.\end{equation}