D'après les mesures de vitesse des nébuleuses spirales dues à Slipher, ces objets ne semblent pas appartenir à la Voie Lactée : ils se déplacent trop vite par rapport à elle pour y être liées gravitationnellement. Il est donc naturel pour mettre fin à ce débat de se demander à quelle distance celles-ci se trouvent. Les mesures de distance classiques comme la parallaxe ne s'appliquent pas à des objets si lointains : il faut trouver une autre méthode.

La solution au problème de mesure de distance de ces objets lointains sera apportée par l'étude des céphéides. Les céphéides sont des étoiles variables périodiques : la puissance lumineuse qu'elles rayonnent varie avec une période $T$ de l'ordre de grandeur du jour. En 1908, l'astronome Henrietta Leavitt découvre une relation entre la luminosité de ces étoiles et leur période. Elle fait cette découverte à partir d'observations réalisées à l'observatoire de l'université d'Harvard sur des milliers d'étoiles variables pulsantes appartenant aux nuages de Magellan (des galaxies naines environ 20 fois plus proches de la Voie Lactée qu'Andromède). Ce résultat est très important : il permet de calculer la luminosité d'une céphéide à partir de sa seule période (qui est facilement mesurable). Or, connaissant la luminosité intrinsèque $L$ d'une étoile ainsi que le flux que l'on en reçoit par unité de surface sur Terre $F$ on peut en déduire sa distance $d$. ($F \propto L/d^2$).

Edwin Hubble, un physicien américain, comprend très vite l'intérêt de cette méthode d'évaluation des distances. Durant les années 20, il applique cette méthode d'observation à des nébuleuses spirales suffisamment proches pour identifier individuellement des céphéides et appliquer la relation luminosité-distance alors connue. Connaissant la distance, il peut calculer la luminosité intrinsèque des plus brillantes des étoiles de ces nébuleuses. Il fit l'hypothèse que cette luminosité maximale devait être la même dans toutes les autres plus éloignées pour lesquelles il était impossible d'identifier les céphéides de façon individuelle. Ce faisant il disposait d'une nouvelle référence (la luminosité absolue des étoiles les plus brillantes) pour calculer la distance de chaque nébuleuse. En 1924, il annonce ainsi qu'il estime la distance d'Andromède à 900 000 années-lumière. Ce résultat met fin à la question du "grand débat" : les spirales nébuleuses sont bien des galaxies au même titre que la Voie Lactée à laquelle elles n'appartiennent pas.

Dans son papier de 1927, Lemaître propose un modèle de l'Univers dans lequel les galaxies environnantes peuvent paraitre s'éloigner avec une vitesse proportionnelle à leur distance du fait d'une expansion. A l'aide des premiers résultats combinés de mesures de distances d'Hubble et de vitesses radiales il établit même une estimation la valeur du coefficient de proportionnalité : $v = Kd$ et $K \sim $ 625 km/s/Mpc, mais les données lui manquent alors pour établir qu'il y a bien proportionnalité. Cette publication passe inaperçue.

En 1929, Hubble publie "A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae" (E. Hubble  1929) (Une relation entre la distance et la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques). Son article montre à partir de mesures de distances et vitesses radiales portant sur 46 nébuleuses qu'il existe une proportionnalité entre les deux. Hubble trouve donc $v = Kd$ où il estime la valeur de $K$ à 530 km/s/Mpc. Ce résultat, aujourd'hui appelé "Loi de Hubble", constitue la preuve de l'expansion de l'Univers, même aux yeux d'Einstein qui renonce alors à son modèle statique. La constante $K$ est aujourd'hui appelée "constante de Hubble" et notée $H_0$ ("H" pour Hubble, et "0" pour souligner qu'il s'agit de la valeur de la constante au temps présent).

Figure issue du papier d'Hubble en 1929.

Légende originale traduite : Relation vitesse-distance pour les nébuleuses extra-galactiques. Les vitesses radiales, corrigées du mouvement du Soleil, sont représentées en fonction des distances estimées à partir des étoiles contenues et des luminosités moyennes des nébuleuses d'un amas. Les disques noirs et le trait plein représentent la solution pour un mouvement solaire estimé en se basant sur les données individuelles des nébuleuses ; les cercles et la ligne pointillée représentent la solution obtenue et regroupant les nébuleuses en 9 groupes distincts ; la croix représente la vitesse moyenne et la distance moyenne de 22 nébuleuses dont les distances n'ont pu être estimées inidividuellement.

La transformation de Lorentz est la transformation qui relie les coordonnées d'un évènements dans deux référentiels inertiels en mouvement rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre dans le cadre de la relativité restreinte. Elle découle naturellement de l'hypothèse selon laquelle un corps se déplaçant à la vitesse de la lumière $c$ dans un tel référentiel doit se déplacer à cette vitesse dans tous ces référentiels.

On se donne deux référentiels $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$ partageant la même origine à $t=0$, de mêmes axes, et tels que $\mathcal{R}'$ s'éloigne de $\mathcal{R}$ dans la direction $x$ à vitesse constante $v$. Si $(t,x,y,z)$ sont les coordonnées d'un évènement $A$ dans $\mathcal{R}$, et $(t',x',y',z')$ ses coordonnées dans $\mathcal{R}'$, alors : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} ct' & = & \gamma (ct-\beta x)\\ x' & = & \gamma (x-\beta ct)\\ y' & = & y\\ z' & = & z \end{matrix}\right.\end{equation} Où $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ est le facteur de Lorentz et $\beta = v/c$ le nombre de Lorentz.

La notion de transformation de Lorentz se généralise à d'autres quantités que les coordonnées : on appelle Quadrivecteur tout vecteur dont les composantes sont changées par passage d'un référentiel inertiel à un autre selon la transformation de Lorentz. C'est le cas par exemple des quadrivecteurs vitesses et accélérations $dx^\mu/ds$ et $d^2x^\mu/ds^2$, du quadrivecteur énergie-impulsion $p^\mu = (E/c, -\vec{p})$, ou encore du quadrivecteur potentiel $A^\mu = (\phi/c, -\vec{A})$.

La transformation de Lorentz laisse invariante la pseudo-norme d'un quadrivecteur. C'est par exemple le cas de $dx_\mu dx^\mu = ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$, l'intervalle infinitésimal d'espace temps. On peut construire d'autres invariants comme le produit scalaire de deux 4-vecteur $A_\mu B^\mu = A^t B^t - A^x B^x - A^y B^y - A^z B^z$.

La loi de transformation relativiste des vitesses se déduit directement de cette transformation. On suppose, sans perdre de généralité, la même définition des référentiels $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$ que celle précédemment donnée; on suppose de plus qu'un corps se déplace à la vitesse $\vec{u} = (u_x,u_y,u_z)$ dans $\mathcal{R}$ et on cherche sa vitesse $\vec{u}'$ dans $\mathcal{R}'$. On remarque que $u_i = dx_i/dt$ et $u_i' = dx_i'/dt'$. De là : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \dfrac{dx'}{dt'} & = & \dfrac{c\gamma (dx-\beta c dt)}{\gamma(c dt-\beta dx)} = \dfrac{c(u_x dt-\beta c dt)}{(c dt-\beta u_x dt)}\\ \dfrac{dy'}{dt'} & = & \dfrac{c dy}{(c dt-\beta dx)} = \dfrac{c u_y dt}{(c dt-\beta u_x dt)}\\ \dfrac{dz'}{dt'} & = & \dfrac{c dz}{(c dt-\beta dx)} = \dfrac{c u_z dt}{(c dt-\beta u_x dt)}\\ \end{matrix}\right.\end{equation} Ce qui donne : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} u_x' & = & \dfrac{u_x-v}{1-v u_x/c^2}\\ u_y' & = & \dfrac{u_y}{\gamma (1-v u_x/ c^2 )}\\ u_z' & = & \dfrac{u_z}{\gamma (1-v u_x/ c^2 )}\\ \end{matrix}\right.\end{equation}