A la fin du 19ème siècle, plusieurs questions restent ouvertes pour les physiciens. Parmi ces problèmes se pose celui de la conciliation des équations de Maxwell avec la transformation de Galilée. En effet, les équations de Maxwell suggèrent que la lumière se propage à une vitesse $c$ constante. Or, selon la transformation de Galilée, la lumière ne peut se propager à $c$ dans tous les référentiels galiléens. On suppose alors à l'époque qu'il existe un référentiel particulier dans lequel les équations de Maxwell sont vérifiées, celui de l'"éther", considéré comme le support des ondes électromagnétiques. Si tout cela est correct, on devrait pouvoir mesurer la vitesse de la Terre par rapport à l'hypothétique éther en observant les déviations du comportement de la lumière par rapport à celui attendu dans le référentiel de l'éther. De nombreuses expériences en ce sens ont été effectuées, la plus célèbre étant sans doute celle de Michelson-Morley, effectuée à l'aide d'un interféromètre. Toutes ces expériences eurent un résultat négatif : la lumière se comportait comme prédit par les équations de Maxwell, même sur Terre, où sa vitesse de propagation semble donc également valoir $c$.

En 1905, A. Einstein publie un article intitulé "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" ("Sur l'électrodynamique des corps en mouvement") (A. Einstein  1905) dans lequel il propose une théorie fondée sur le postulat selon lequel la lumière se propage à une même vitesse $c$ dans tous les référentiels galiléens. En d'autres mots, Einstein étend le principe de relativité selon lequel les lois de la Physique doivent être les mêmes dans tout référentiel Galiléen à l'électromagnétisme et donc au comportement de la lumière. Il en déduit qu'il faut abandonner la transformation de galilée au profit de la transformation de Lorentz et parvient à expliquer les observations faites concernant la propagation de la lumière avec succès. Il montre également comment la mécanique classique en est changée.

Si la relativité restreinte décrit avec succès l'électrodynamique, elle souffre d'un inconvénient majeur : elle est incompatible avec la théorie de la gravitation de Newton (par exemple, l'action gravitationnelle d'une masse sur une autre est instantanée selon la vision Newtonienne alors que la relativité fait apparaitre une vitesse limite $c$ pour les interactions). Pourtant, celle-ci parait tout à fait correcte puisqu'elle semble expliquer tous les phénomènes gravitationnels en accord avec l'expérience. Einstein élabore donc une théorie "relativiste" de la gravitation, appelée relativité générale, qu'il met au point jusqu'en 1915. Cette théorie repose sur le principe d'équivalence : un champ de gravitation est équivalent à l'accélération d'un référentiel non inertiel par rapport à un référentiel inertiel. D'après ce constat, tous les corps en chute libre dans un même état initial suivent une même trajectoire dans un champ de gravitation, ce qui suggère que cette trajectoire ayant une nature universelle est une propriété de l'espace-temps.

Pour cela, avec l'aide de Marcel Grossmann, Einstein établit ( E. S.  1915) d'abord vers 1913 une première tentative de description de la gravitation comme une déformation de l'espace-temps induite par la masse et l'énergie, et propose une relation de proportionnalité entre le tenseur énergie-impulsion (qui contient l'information sur la densité d'énergie et son transport) $T^{\mu\nu}$ et le tenseur de Ricci $R^{\mu\nu}$ (qui décrit la courbure de l'espace-temps) : \begin{equation} R^{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^2} T^{\mu\nu} \end{equation} Cette première équation s'avère incorrecte (en particulier elle ne redonne pas le régime newtonien dans les situations où elle le devrait, c'est-à-dire petites vitesses et champs faible), et Einstein propose finalement en 1915 l'équation qui porte désormais son nom (équation d'Einstein) : \begin{equation} R^{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^2} \left ( T^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}T \right) \end{equation} Parallèlement, Hilbert propose une dérivation de cette équation à partir du principe de moindre action. La théorie de la Relativité Générale est née !

Cette nouvelle théorie appelle évidemment à être testée. Dès 1915, Einstein montre qu'elle permet d'expliquer l'écart entre l'avance du périhélie de Mercure observée et celle calculée. En effet, l'influence perturbative des autres planètes du système solaire et de la non perfection de la rotondicité du Soleil entrainent une précession du périhélie de Mercure de près de 5500 secondes d'arc par siècle. Cependant, il existe à l'époque un écart de 43 secondes d'arc par siècle entre la valeur prédite par les lois de Newton et la valeur observée. Grâce à sa théorie, Einstein prédit précisément un terme de précession supplémentaire égal à 43 secondes d'arc par siècle : c'est le premier succès de la Relativité Générale.

En 1919, Arthur Eddington profite d'une éclipse solaire pour tester une autre prédiction de la Relativité Générale. Celle-ci prévoit que la déviation d'origine gravitationnelle d'un rayon lumineux passant près d'une masse importante est le double de celle prédite par la mécanique newtonienne. Or, lors d'une éclipse solaire totale, il est possible d'observer des étoiles dont les photons qui nous en parviennent passent près du Soleil (et dont la lumière émise a donc été légèrement déviée). En comparant leur position apparente et celle attendue en l'absence de déflexion des rayons lumineux, on peut trancher entre les deux théories. Les résultats (F. W. Dyson, A. S. Eddington et al.  1920) indiquèrent que la prédiction correcte était donnée par la Relativité Générale, cependant leur significance fut remise en cause.

Le tenseur est Ricci, noté $R^{\mu\nu}$, est, en géométrie Riemanienne, un tenseur de rang 2 décrivant la courbure d'une variété Riemanienne (objet mathématique représentant l'espace-temps).

Définition

Ce tenseur $R$ peut-être défini mathématiquement à partir de la connexion de Levi-Civita $\nabla$. La connexion de Levi-Civita est elle même définie pour deux champs vectoriels $A^{\mu}$ et $B^{\mu}$ comme la dérivée de $B$ dans la direction $A$ notée $\nabla_{A}B$. On a alors : \begin{equation} R(X,Y) = \nabla_{X}\nabla_{Y} - \nabla_{Y}\nabla_{X} - \nabla_{[X,Y]} \end{equation} Le lien avec la notation tensorielle est donné par : \begin{equation} R = R_{\mu\nu} dx^\mu \otimes dx^\nu \end{equation} Une définition à partir d'une tenseur de Riemann est également possible : \begin{equation} R^{\mu\nu} = R^{\rho}_{\mu\rho\nu} \end{equation} Ces éléments sont tirés de l'article wikipédia sur le tenseur de Ricci.