Aujourd'hui, l'accélération de l'expansion de l'Univers est un fait bien établi, grâce à plusieurs observations :

• La relation distance de luminosité - redshift des supernovae thermonucléaires. Cette relation dès qu'elle est mesurée semble clairement indiquer que l'Univers accélère son expansion malgré des doutes sur les analyses récompensées par le prix Nobel 2011 (J. T. Nielsen, A. Guffanti et al.  2016) .
• Les observations du fond diffus cosmologique et de ses anisotropies.
• Les catalogues de galaxies, leur fonction de corrélation.

Toutes ces observations semblent indiquer, dans le cadre de la relativité générale, l'existence d'une constante cosmologique $\Lambda$ positive, dont la valeur est d'environ $10^{-69} \textrm{ m}^{-2}$. L'équation d'Einstein se voit modifiée pour devenir : \begin{equation} G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \end{equation} Où $G$ est le tenseur d'Einstein, qui contient l'information sur la géométrie de l'espace-temps, et $T$ le tenseur énergie-impulsion qui contient l'information sur son contenu (énergie et pression du contenu de l'Univers). Le terme du à la constante cosmologique peut être intégré dans le tenseur énergie impulsion, et alors celle-ci s'interprète comme une forme d'énergie particulière d'équation d'état $P = w\rho$. Comme cette "énergie" échappe à une détection directe, à la manière de la matière noire, on l'appelle énergie noire. La valeur de $\Lambda$ implique que celle-ci représente environ 75 $\%$ de la densité critique. Pour être parfaitement équivalente à une constante cosmologique, il faudrait $w = -1$ soit $P=-\rho$.

Les problèmes posés par la constante cosmologique

Cette équation d'état est a priori difficile à comprendre, mais elle correspond à celle de l'énergie d'un champ stationnaire. Une explication attrayante serait alors qu'elle est simplement égale à l'énergie du vide des champs du modèle standard de la physique des particules, aussi appelée énergie de point zéro, mais cette interprétation se heurte à une difficulté importante. En effet, la densité d'énergie prédite selon cette hypothèse est bien trop grande. La contribution d'un champ sans masse à l'énergie du vide peut être estimée par analogie avec les niveaux d'énergie d'un oscillateur quantique. Ces niveaux sont $E_n = \hbar \omega_{\vec{p}} (\frac{1}{2}+n)$ où $n$ est un entier correspondant au nombre de particules et $\hbar\omega = pc$. Le niveau fondamental $E_0$ correspond donc à une énergie $\frac{1}{2}\hbar \omega_{\vec{p}}$. Reste alors à sommer la contribution de chaque mode $\vec{p}$ : \begin{equation} \rho_{vacuum} = \dfrac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int \dfrac{1}{2} \hbar \omega_{\vec{p}} d^3 p = \dfrac{2\pi c}{(2\pi \hbar)^3} \int p^3 dp \end{equation} Cette somme est divergente, mais on peut supposer que l'intégrande est valide jusqu'à une certaine échelle $\Lambda$ appelée "cut-off". Cette échelle est nécessairement supérieure au TeV puisque le modèle standard de la physique des particules est très bien vérifié en dessous de cette énergie. Elle est par ailleurs probablement inférieure à l'échelle de Planck $M_{pl} = 10^{19}$ GeV. Dans ce cas, $\Lambda = M_{pl}$ et, en unités naturelles ($\hbar = c = 1$), l'expression précédente donne donc une densité d'énergie du vide $\rho_{vacuum} \sim \Lambda^4$. \begin{equation} \rho_{vacuum} \sim M_{pl}^4 = 10^{112} \textrm{eV}^4 \end{equation} Les observations cosmologiques donnent $\rho_{\Lambda} = \Omega_{\Lambda} \rho_c \sim 10^{-16} \textrm{ eV}^4$. De là : \begin{equation} \dfrac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{vacuum}} \sim 10^{128} \end{equation} Ainsi la prédiction théorique est supérieure de plus de 120 ordres de grandeur à la valeur expérimentale. Il y a clairement un problème ! Dans le meilleur des cas, en abaissant le cut-off à l'échelle électrofaible (1 TeV), l'excès est toujours énorme (plus de 60 ordres de grandeur) (Raphael Bousso  2012) . Le fait que la contribution à la constante cosmologique due à l'énergie de point zéro des champs du modèle standard soit bien trop large par rapport à l'ordre de grandeur attendu est appelé "problème d'ajustement fin de la constante cosmologique". Il est assez extraordinaire, si cette interprétation est correcte, que les contributions de chaque champ à l'énergie du vide se compensent miraculeusement pour atteindre une valeur totale si particulière.

Il existe un autre problème plus discutable avec la constante cosmologique, qui consiste à savoir pourquoi sa valeur aujourd'hui est-elle que $\rho_{\Lambda}$ soit du même ordre de grandeur que la densité critique $\rho_c$. Ceci n'étant pas vrai à toute époque ($\rho_\Lambda$ est constante si parfaitement équivalente à une constante cosmologique, alors que $\rho_c$ diminue avec l'expansion), il revient à se demander si le fait que l'on mesure aujourd'hui un paramètre de densité $\Omega_{\Lambda} \equiv \rho_{\Lambda}/\rho_c$ de l'ordre de l'unité est une coincidence.

En réponse à ces problèmes, diverses solutions ont été suggéré, qui restent encore à tester.

Modification de la gravité

Il est possible que l'énergie de point zéro des champs quantiques ne contribue pas comme on le pense à $\rho_{\Lambda}$. Elle peut s'annuler parfaitement, ou bien peut-être nos hypothèses sur l'interaction gravitationnelles sont incorrectes (voir le diagramme de Feynman suivant qui suppose que l'hypothétique graviton se couple avec des boucles qui donnent naissance à l'énergie du vide).

Dans ce cas, la constante cosmologique pourrait être la manifestation d'écarts à la relativité générale, que prédisent par exemple les théories $f(R)$. Ces théories, comme expliquée dans l'article Recherche de la matière noire, proposent de modifier l'action d'Einstein-Hilbert équivalente à l'équation d'Einstein $S=\int R \sqrt{-g}d^4 x$ par $S=\int f(R)\sqrt{-g}d^4 x$. En 2004, Sean Caroll a publié un papier sur le sujet ayant reçu beaucoup d'attention (Sean M. Carroll, Vikram Duvvuri et al.  2004) . Dans son article il montrer que l'ajout d'un terme de la forme $1/R^n$ (donc prédominant lorsque la gravité devient faible, tout comme la constante cosmologique dont l'effet sur l'expansion domine lorsque la densité des autres formes d'énergie devient négligeable) serait une explication plausible évitant le recours à la notion d'énergie noire. Une mesure très précise de $w = P/\rho$ permettrait de trancher. Ces théories peuvent aussi être invalidées par des tests non cosmologiques de la relativité générale (Matteo Cataneo, David Rapetti et al.  2015) (K. Henttunen, T. Multamäki et al.  2008) .

Le principe anthropique et le "landscape" des théories des cordes

Si la constante cosmologique avait pris une valeur de plusieurs ordres de grandeur supérieure, alors la formation des galaxies aurait été impossible car l'effet de répulsion de $\Lambda$ s'oppose à la condensation gravitationnelle (Steven Weinberg  1987) , et nous ne serions pas là pour parler de physique. Toutes les observations que nous faisons sont nécessairement compatibles avec l'existence de la vie humaine, et donc toutes les théories doivent l'être également. Si un paramètre est libre dans un modèle physique (c'est le cas de la constante cosmologique dans la relativité générale), et que nous sommes là pour le mesurer, alors sa valeur doit être telle que nous puissions exister, et donc compatible avec la formation des galaxies. Cette idée est désignée sous le nom de "principe anthropique". Par ailleurs, les travaux effectués sur les théories des cordes et la théorie de l'inflation semblent suggérer les choses suivantes :

1. Les théories des cordes sont capables de prédire un très grand nombre d'états du vide stables ou meta-stables (vacua) (Raphael Bousso  2012) qui peuvent par exemple ressembler à un espace de de-Sitter avec constante cosmologique (Shamit Kachru, Renata Kallosh et al.  2003) . Donc, les théories des cordes semblent autoriser une très large quatnité de valeurs pour $\Lambda$. C'est le "landscape de la théorie des cordes".
2. Un scénario envisageable est qu'une région de l'Univers puisse effectuer une transition vers un autre état du vide (avec une constante cosmologique différente), et grandir avec l'expansion. Ceci est tout à fait similaire au mécanisme original d'inflation proposé par Guth. Cette bulle qui s'expand devient un sous-univers avec sa propre valeur pour $\Lambda$ et d'autres paramètres physiques. Dans ce scénario, on appelle multivers l'ensemble de ces univers "enfants".

De ce point de vue, les théories des cordes pourraient expliquer la petitesse de la constante cosmologique : d'un part, elles prédisent tout un spectre pour $\Lambda$ qui incluerait la valeur observée. D'autre part, elle semble offrir un mécanisme qui permettrait d'atteindre dynamiquement cette valeur. TODO schéma + explications sur la récursivité

Résultats expérimentaux

La caractérisation de l'énergie noire passe principalement par l'étude de son équation d'état. Si le paramètre $w=P/\rho$ de l'énergie noire est laissé libre dans le modèle standard de la cosmologie, alors les derniers résultats de Planck donnent un meilleur "fit" pour $w = -1,006 \pm 0,045$ (P. A. R. Ade, N. Aghanim et al.  2016) , tout à fait compatible avec une constant cosmologique ($w=-1$). Si l'énergie noire est due à un fluide non stationnaire, sa valeur pourrait varier. Le problème est qu'a priori celle-ci n'a d'impact sur l'expansion qu'assez tard dans l'histoire de l'Univers, alors que le facteur d'échelle évolue peu. Une paramétrisation phénoménologique habituelle est une dépendance affine de $w$ avec le facteur d'échelle (P. A. R. Ade, N. Aghanim et al.  2016) : \begin{equation} w(a) = w_0 + w_a(1-a) \end{equation} Celle-ci est vraiment très générique puisqu'elle correspond à un développement de Taylor de $w$ en tant que fonction de $a$. Cependant il existe des modèles spécifiques motivés par la théorie qui permettent de mieux évaluer la dépendance de $w$ attendue avec $a$. C'est le cas par exemple de celui du "slow-rolling scalar field", c'est-à-dire d'un champ scalaire $\phi$ évoluant lentement dans un potentiel $V(\phi)$ pour lequel on a : \begin{equation} w(\phi) = \dfrac{\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-V(\phi)}{\frac{1}{2}\dot{\phi}^2+V(\phi)} \end{equation} Si le champ varie lentement ($\dot{\phi}^2 \ll V(\phi)$) on a bien $w\to -1$. A partir de cette dépendance, des paramétrisations plus spécifiques de $a\mapsto w(a)$ peuvent être établies permettant l'obtention de meilleurs contraintes sur les paramètres physiques du modèle (Zhiqi Huang, J. Richard Bond et al.  2011) . Ceci permet d'exclure certains modèles simplistes (P. A. R. Ade, N. Aghanim et al.  2016) .

Certaines analyses tentent aussi de reconstruire $w$ en fonction de $z = 1/a-1$, "bin à bin", comme sur la figure suivante : Cette méthode a l'avantage de requérir très peu d'hypothèses, mais la contrepartie est d'offrir des résultats très peu contraints.

Futures expériences

Plusieurs expériences

Euclid

Euclid est un projet de télescope spatial doté d'un miroir de 1,2m de diamètre validé par l'Agence Spatiale Européenne (ESA) en 2011 (R. Laureijs, J. Amiaux et al.  2011) . Il doit être lancé en 2020. Il comportera deux instruments :

• Le Near Infrared Spectrometer and Photometer (NISP), sensible aux longueurs d'onde entre 1 et 2 $\mu$m avec une résolution angulaire de l'ordre de 0,3''. Le spectromètre permettra une mesure précise du redshift des objets observés, avec une résolution spectrale $\lambda/\Delta \lambda \sim 250$.
• Le Visible instrument (VIS) doté d'une caméra CCD sensible à l'intervalle de longueurs d'ondes 550-900 nm et d'une résolution de 0,1'' par pixel.

Ces mesures devraient permettre de constituer un catalogue sans précédent d'objets à haut redshift (galaxies, quasars, supernovae). Le volume de détection sera multiplié par 500 par rapport au SDSS. Toutes ces données devraient contribuer à améliorer de façon significative les contraintes sur certains paramètres cosmologiques via l'observation des oscillations acoustiques de baryons et de l'effet de lentille gravitationnelle faible. On attend par exemple une amélioration de la limite sur $w_a$ d'un facteur $\sim$ 50 et de celle sur la somme des masses de neutrinos d'un ordre de grandeur. L'observation de quasars à haut redshift ($z \sim 6 - 8$) devrait apporter des renseignements précieux sur la réionisation.

Wild Field Infrared Survey Telescope (WFIRST)

WFIRST est une mission de la NASA validée en 2016 consistant en un télescope spatial devant être lancé au cours de la prochaine décennie. Le téléscope consistera en un miroir de 2,4m, et ses instruments détecteront des longueurs d'onde comprises entre 0,2 et 1,7 $\mu$m. Il devrait être capable de voir des objets légèrement moins lumineux qu'Euclid (gain de +2 en magnitude). Il viendra donc compléter la mission scientifique d'Euclid. Par ailleurs, il sera doté d'un coronographe, facilitant l'observation d'exoplanètes.

Une supernova de type Ia (thermonucléaire) est le phénomène très lumineux d'explosion d'une naine blanche lorsque celle-ci en accrétant de la matière devient trop massive pour demeurer stable. Les supernovae Ia sont très intéressantes en cosmologie, car ce sont des chandelles standard, similairement aux céphéides. Elles permettent donc d'effectuer des mesures de distance de luminosité. Étant très lumineuses, elles sont détectables même étant lointaines, jusqu'à des redshift dépassant 1. Or, à ces redshift, la dépendance de la distance de luminosité avec le redshift dépend beaucoup du modèle cosmologique, et donc les supernovae permettent de mesurer assez précisément des paramètres cosmologiques. C'est par leur étude que fut découverte l'accélération de l'expansion de l'Univers.

Cette annexe est divisée en trois parties :

• Naines blanches et masse de Chandrasekhar
• Effondremment
• Emploi comme chandelles standards

Les naines blanches, masse de Chandrasekhar

Les naines blanches sont des étoiles très compactes ($m\sim M_{\odot}$ et $R \sim 1\% \cdot R_{\odot}$), principalement constituées de carbone et d'oxygène, qui ne résistent à l'effondrement gravitationnel non pas par des réactions thermonucléaires en leur sein puisque celles-ci ne sont plus prédominantes, mais grâce à la pression de dégénérescence de leurs électrons, d'origine quantique. La suite de ce paragraphe consiste à montrer l'existence d'une masse limite pour ces objets, appelée masse de Chandrasekhar, au-delà de laquelle cette pression de dégénérescence est insuffisante pour soutenir le poids de la naine blanche.

Equation d'état du gaz d'électrons

On considère l'ensemble des électrons qui constituent l'étoile. Ceux-ci sont confinés à d'importantes pressions et densités, et leur comportement est à la fois quantique et relativiste. On cherche à établir l'équation d'état du gaz d'électrons. Pour les décrire, on apparente le système qu'ils forment à une boite de dimension $L\times L \times L$ remplie d'électrons. Pour commencer, il faut déterminer les différents états microscopiques autorisés. Pour cela on résout l'équation de Dirac (pour conserver une description quantique et relativiste), en considérant que les électrons ne peuvent s'échapper de la boite (fonction d'onde nulle aux bords) : \begin{equation} i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi - mc \psi = 0 \mbox{ et } \psi (t, \vec{x}) = 0 \mbox{ si } x_i \in \{ 0, L \} \end{equation} En recherchant les solutions sous formes d'ondes on trouve : \begin{equation} \psi (t,\vec{x}) = \begin{pmatrix} \phi\\ \left [ \dfrac{\vec{\sigma} \vec{p}}{E+mc^2} \right ] \phi \end{pmatrix} e^{\frac{i}{\hbar}\left( Et - \vec{p} \cdot \vec{x}\right )} \end{equation} où $E = +\sqrt{m^2c^4 + p^2c^2}$, l'expression relativiste de l'énergie. L'application des conditions aux limites donne $p_i = h n_i / L$ avec $n_i \in \mathbb{Z}$. (Même résultat avec l'équation de Schrodinger, donc non relativiste). Maintenant que l'on connait l'ensemble des micro-états, la question est de connaitre les grandeurs thermodynamiques que sont la densité, la densité d'énergie et la pression et de les relier. On définit la fonction $f_i(E_i)$ définie comme le nombre d'électrons dans l'état $i$. Les électrons étant des fermions, pour un équilibre thermique, ils suivent la distribution de Fermi-Dirac. Ainsi, le nombre d'électrons $n_i$ dans un état $i$ est dans ce cas donné par : \begin{equation} f_i(E_i) = \dfrac{g}{e^{E_i/k_B T} + 1} \end{equation} Où $g$ est la dégénérescence de spin (pour un spin 1/2 comme c'est le cas pour les électrons, $g=2$). Ici, chaque état est déterminé par les nombres quantique $n_x,n_y,n_z$ tels que $p^2 = \frac{h^2}{L^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)$. Le nombre $N$ d'électrons est donné par la somme des espérances moyennes associées à chaque état : \begin{equation} N = f_i(E_i) = g \sum_{n_x = -\infty}^{+\infty} \displaystyle \sum_{n_y = -\infty}^{+\infty} \displaystyle \sum_{n_z = -\infty}^{+\infty} f \left (E(n_x, n_y, n_z)\right ) \end{equation} Remarquons que les niveaux d'impulsions (et donc d'énergie) sont de moins en moins espacés quand $L\to +\infty$, si bien que l'écart entre deux niveaux consécutifs devient infinitésimal. On peut donc transformer les sommes en intégrales selon :^[?] \begin{equation} \sum_{n_x = -\infty}^{+\infty} \to \dfrac{L}{h} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} dp_x \end{equation} L'expression du nombre d'électrons $N$ devient alors : \begin{equation} N = g\dfrac{L^3}{h^3} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f \left (E(p_x, p_y, p_z)\right ) dp_x dp_y dp_z \end{equation} L'intégrande ne dépendant que de $E$ qui ne dépend que de la norme de $\vec{p}$ (pas de sa direction), il est intéressant de passer en coordonnées sphériques : \begin{equation} N = g\dfrac{L^3}{h^3} \displaystyle\int_{\theta = 0}^{2\pi} \displaystyle\int_{\phi = 0}^{\pi} \displaystyle\int_{p = 0}^{+\infty}p^2 \sin{(\phi)} f(E(p))dp \\ = 4\pi g\dfrac{L^3}{h^3} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(E(p)) p^2 dp \end{equation} Enfin, la densité d'électrons $n$ vaut simplement $N/L^3$ et donc : \begin{equation} n =\dfrac{ 4\pi g}{h^3} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(E(p)) p^2 dp \end{equation} L'énergie totale du système $U$ est donnée par la somme des énergies moyennes de chaque état $U_i = f_i E_i$. En sommant sur tous les états autorisés on trouve : \begin{equation} U = g \displaystyle \sum_{n_x = -\infty}^{+\infty} \displaystyle \sum_{n_y = -\infty}^{+\infty} \displaystyle \sum_{n_z = -\infty}^{+\infty} f \left (E(p_x, p_y, p_z)\right ) E(n_x, n_y, n_z) \end{equation} Cette somme peut être transformée en intégrale par le même processus de continuisation que précédemment. La seule différence est la présence d'un facteur $E$ supplémentaire dans l'intégrale : \begin{equation} U = 4\pi g\dfrac{L^3}{h^3} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f \left (E(p)\right ) E(p) p^2 dp \end{equation} La densité d'énergie est simplement $\rho = U/L^3$, et donc : \begin{equation} \rho = \dfrac{4\pi g}{h^3} \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f \left (E(p)\right ) E(p) p^2 dp \end{equation} La pression des électrons d'impulsion $p$ est $pv/3$ ^[?] Par ailleurs $v = pc^2/E$. ^[?] De là : \begin{equation} P = \dfrac{4\pi g}{3h^3} \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f \left (E(p)\right ) \dfrac{p^4 c^2}{E(p)} dp \end{equation} Si les électrons sont à l'équilibre thermique, ils suivent la distribution de fermi-dirac et donc : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} n & = & \dfrac{ 4\pi g}{h^3} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{p^2 dp}{e^{E(p)/k_B T} + 1}\\ \rho & = & \dfrac{4\pi g}{h^3} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{p^2 E(p) dp}{e^{E(p)/k_B T} + 1} \\ P & = & \dfrac{4\pi g}{3h^3} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{E(p)} \dfrac{p^4 c^2 dp}{e^{E(p)/k_B T} + 1} \end{matrix}\right.\end{equation} Les intégrales peuvent être réécrites à l'aide des variables $u = E/mc^2 = 1+\frac{p^2}{m^2c^2}$ et $x = mc^2/(k_B T)$ : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} n & = & \dfrac{ 4\pi g m^3 c^3}{h^3} \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{u \sqrt{u^2-1} du}{e^{ux} + 1}\\ \rho & = & \dfrac{4\pi g m^4 c^5}{h^3} \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{u^2 \sqrt{u^2-1} du}{e^{ux} + 1} \\ P & = & \dfrac{4\pi g m^4 c^5}{3h^3} \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{(u^2-1)^{3/2} du}{e^{ux} + 1} \end{matrix}\right.\end{equation} On s'intéresse ici à l'équation d'état $n \to P (n)$ puisque la relation nécessaire à la résolution du problème est celle entre la densité de masse d'électrons $\rho_m = n m$ et la pression $P$. Les intégrales peuvent être évaluées numériquement. Si les effets thermiques ne dominent plus, un cas extrême à envisager est le cas où tous les niveaux en dessous d'une certaine énergie de seuil $E_F$ sont occupé. On parle d'état dégénéré. Ceci permet de maximiser la densité d'électrons à une énergie totale donnée. Dans ce cas la fonction $f(E)$ vaut 1 en dessous de $E_F$ et 0 au dessus : \begin{equation} f_d(E) = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{ si } & E \leq E_F \\ 0 & \mbox{ si } & E > E_F \end{matrix}\right. \end{equation} Et donc : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} n_d & = & \dfrac{ 4\pi g m^3 c^3}{h^3} \displaystyle\int_{1}^{u_F} u \sqrt{u^2-1} du\\ P_d & = & \dfrac{4\pi g m^4 c^5}{3h^3} \displaystyle\int_{1}^{u_F} (u^2-1)^{3/2} du \end{matrix}\right.\end{equation} On note $n_0 = \dfrac{ 4\pi g m^3 c^3}{h^3} $ et $P_0 = \dfrac{4\pi g m^4 c^5}{3h^3}$. Le régime dégénéré peut être résolu analytiquement : \begin{equation} \displaystyle\int_{1}^{u_F} u \sqrt{u^2-1} du = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{u_F^2 - 1} \sqrt{t} dt = \dfrac{1}{3} \left (u_F^2 - 1\right )^{3/2} \end{equation} Et \begin{equation} \displaystyle\int_{1}^{u_F} (u^2-1)^{3/2} du = \displaystyle\int_{0}^{\cosh^{-1} u_F}\sinh^4{(t)} dt \\ = \dfrac{3}{8} \cosh^{-1} u_F - \dfrac{1}{2} u_F \sqrt{u_F^2 - 1} + \dfrac{1}{8} u_F \sqrt{u_F^2 - 1} (2u_F^2 - 1) \end{equation} Ce qui donne, en définissant $x \equiv 3\dfrac{n}{n_0}$ : \begin{equation} P = P_0 \left [ \dfrac{3}{8} \sinh^{-1}{\left (x^{1/3} \right )} + \sqrt{1+ x^{2/3}} \left ( \dfrac{1}{4}x- \dfrac{3}{8} x^{1/3} \right ) \right ] \end{equation} Similairement on peut montrer que la densité d'énergie peut s'écrire : \begin{equation} \rho_e =\dfrac{3}{8} P_0 \left [ \sinh^{-1}{\left (x^{1/3} \right )} + \sqrt{1+ x^{2/3}} \left ( 2x- x^{1/3} \right ) \right ] \end{equation} Les courbes $n/n_0 \mapsto P/P_0$ sont calculées numériquement (facteurs dimensionnés exclus). On trouve

On observe pour un gaz dégénéré deux régimes différents :

• Faible densité : $P \sim P_0 \left ( \dfrac{n}{n_0} \right )^{5/3}$ (courbe en pointillés)
• Haute densité : $P \sim P_0 \left ( \dfrac{n}{n_0} \right )^{4/3}$ (courbe en traits discontinus)

Un gaz dicté par les effets thermiques se comporte comme un gaz dégénéré à forte densité et comme un gaz parfait à basse densité. (La relation pression/densité pour fermi dirac est une droite,

Résistance à la gravité

Dans une naine blanche, la force qui compense la pression de dégénérescence des électrons est la gravité. On peut montrer à partir de la relativité générale que l'équilibre se traduit par l'équation de Tolman-Oppenheimer :

\begin{equation} \left( 1 - \frac{2 G M(r)}{c^2 r} \right) P'(r) = - \frac{G}{r^2}\dfrac{1}{c^2} \left( \rho_m(r) + \rho_e(r) + P(r) \right) \left(M(r) + 4 \pi r^3 \frac{P(r)}{c^2} \right) \end{equation} $P$ est la pression, $\rho_m$ la densité d'énergie de masse de la matière baryonique (qui constitue l'essentiel de la masse d'une étoile), et $\rho_e$ celle du gaz d'électrons. $M(r)$ est la masse comprise dans la sphère de rayon $r$ centrée au coeur de l'étoile. La pression qui domine est celle de dégénérescence donc $P$ est la pression du gaz d'électrons. Par ailleurs la masse est reliée à la densité de matière et d'énergie par : et \begin{equation} M'(r) = 4\pi r^2 \dfrac{\rho_m(r) + \rho_e(r)}{c^2} \end{equation} On peut écrire $\rho_m \simeq n_b m_p c^2 $. où on définit le rapport entre densité baryonique et d'électron $\mu \equiv n_b / n_e$. Alors on a $n_e = \rho_m / (\mu m_p c^2)$. En définissant $\rho_0 \equiv n_0 m_p c^2$, il vient que $x = 3 \rho_m / (\mu \rho_0)$. Les naines blanches étant principalement constituées d'éléments tels que le carbone, il y a en moyenne un proton et un neutron pour chaque électron donc $\mu = 2$ On définit les variables adimensionnées associées : $p \equiv P/P_0$, $\epsilon = \rho_e/\rho_0$, $\xi = r/R_{\odot}$ et $m = M/M_{\odot}$ L'équation devient : \begin{equation} \left( 1 - \frac{2 G M_{\odot} m(\xi)}{c^2 R_{\odot} \xi} \right) \dfrac{P_0R_{\odot}^2 }{G R_{\odot}}p'(\xi) = - \frac{1}{\xi^2 c^2} \left( \rho_0 \mu x/ 3 + \rho_0 \epsilon + P_0 p(\xi) \right) \left(M_{\odot} m(\xi) + 4 \pi R_{\odot}^3 \xi^3 \frac{P_0 p(\xi)}{c^2} \right) \end{equation} En définissant les variables adimensionnées $\alpha \equiv \dfrac{P_0}{\rho_0} = \dfrac{m_e}{3 m_p}$ et $\beta = \dfrac{\rho_0 R_{\odot}^3}{M_{\odot}c^2} = \dfrac{ 4\pi g m_e^3 m_H c^3}{h^3} \dfrac{R_{\odot}^3}{M_{\odot}}$ ainsi que le rayon de schwarszchild du Soleil $r_s = 2GM_{\odot}/c^2$ alors : ^[?] \begin{equation} 2 \alpha \dfrac{R_{\odot}}{r_s} \left( 1 - \frac{r_s m(\xi)}{R_{\odot} \xi} \right) p'(\xi) = - \frac{1}{\xi^2} \left( \mu x (\xi) /3 + \epsilon(\xi) + \alpha p(\xi) \right) \left( m(\xi) + 4 \alpha \beta \pi \xi^3 p(\xi) \right) \end{equation} Et par ailleurs : \begin{equation} m'(\xi) = 4\pi \xi^2 \dfrac{\rho(\xi)}{\rho_0} = \dfrac{4}{3} \pi\xi^2 \dfrac{\rho_0 R_{\odot}^3}{M_{\odot}}(\mu x + 3\epsilon ) \end{equation} On peut aussi employer l'équation hydrostatique non relativiste : \begin{equation} 2 \alpha \dfrac{R_{\odot}}{r_s}p'(\xi) = -\dfrac{\mu m(\xi) x(\xi)}{3 \xi^2} \end{equation}

Résultat

Les équations d'équilibre sont résolues (Relativité générale ou gravitation newtonienne) et conduisent au résultat suivant :

Effondrement et supernova

On estime que le mécanisme d'effondrement d'une naine blanche donnant lieu a une supernova de type Ia est le suivant : (F. Hoyle, William A. Fowler  1960)

1. La naine blanche accrète de la matière en général d'une étoile compagnon telle qu'une géante rouge. Sa masse augmente jusqu'à devenir suffisamment proche de la limite de Chandrasekhar. Celle-ci devient alors instable (la pression de dégénerescence ne permet plus de contrer la gravité).

Emploi comme chandelles standards

De façon empirique, on sait au début des années 1990 que les supernovae de type Ia ont une magnitude maximale similaire, et des courbes de luminosité ($t\mapsto L(t)$) semblables. Ces courbes montrent toute une augmentation rapide jusqu'à l'atteinte d'une maximum puis une diminution plus lente.

De là, elles possèdent un certain potentiel en tant que chandelles standard. Une bonne chandelle standard doit avoir une dispersion en magnitude $\Delta M$ faible, pour que la méthode soit précise. Les céphéides variables par exemple, peuvent avoir des magnitudes absolues très différentes, mais celle-ci est fortement corrélée avec leur période - qui est facilement mesurable - si bien qu'on peut déduire leur magnitude intrinsèque avec une dispersion $\Delta M_{V} \sim $ 0,1 (L. N. Berdnikov, A. K. Dambis et al.  1997) . En 1993, Phillips montre à partir de mesures effectuées sur 9 SNe Ia proches (M. M. Phillips  1993) que celles-ci possèdent une dispersion en magnitude maximale intrinsèque de l'ordre de $\pm 0,6$ dans la bande V, et $\pm 0,8$ dans la bande B. Il cite notamment le cas de la supernova SN 1991bg qui est significativement moins lumineuses que les autres. Il note aussi que sa courbe de luminosité dans la bande B au cours du temps semble décroître plus rapidement. Des corrélations sont alors recherchées afin de déterminer si l'estimation de la luminosité maximale peut être affinée à l'aide d'autres observables. Dans la poursuite de l'idée des travaux de Pskovskii en 1984, Phillips teste l'hypothèse d'une corrélation entre rapidité du déclin de la luminosité des supernovae Ia et leur luminosité maximale. Il définit dans ce but un paramètre de déclin noté $\Delta m_{15}(B)$ qui correspond à la variation de magnitude apparente entre le pic de luminosité et 15 jours plus tard. Par la suite cette méthode est encore améliorée, à l'aide de templates ou de remises à l'échelle appliquées aux courbes de lumière (G. Goldhaber, D. E. Groom et al.  2001) . (Adam G. Riess, Alexei V. Filippenko et al.  1998) (S. Perlmutter, G. Aldering et al.  1999)