Aujourd'hui, l'accélération de l'expansion de l'Univers est un fait bien établi, grâce à plusieurs observations :

• La relation distance de luminosité - redshift des supernovae thermonucléaires. Cette relation dès qu'elle est mesurée semble clairement indiquer que l'Univers accélère son expansion malgré des doutes sur les analyses récompensées par le prix Nobel 2011 (J. T. Nielsen, A. Guffanti et al.  2016) .
• Les observations du fond diffus cosmologique et de ses anisotropies.
• Les catalogues de galaxies, leur fonction de corrélation.

Toutes ces observations semblent indiquer, dans le cadre de la relativité générale, l'existence d'une constante cosmologique $\Lambda$ positive, dont la valeur est d'environ $10^{-69} \textrm{ m}^{-2}$. L'équation d'Einstein se voit modifiée pour devenir : \begin{equation} G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \end{equation} Où $G$ est le tenseur d'Einstein, qui contient l'information sur la géométrie de l'espace-temps, et $T$ le tenseur énergie-impulsion qui contient l'information sur son contenu (énergie et pression du contenu de l'Univers). Le terme du à la constante cosmologique peut être intégré dans le tenseur énergie impulsion, et alors celle-ci s'interprète comme une forme d'énergie particulière d'équation d'état $P = w\rho$. Comme cette "énergie" échappe à une détection directe, à la manière de la matière noire, on l'appelle énergie noire. La valeur de $\Lambda$ implique que celle-ci représente environ 75 $\%$ de la densité critique. Pour être parfaitement équivalente à une constante cosmologique, il faudrait $w = -1$ soit $P=-\rho$.

Les problèmes posés par la constante cosmologique

Cette équation d'état est a priori difficile à comprendre, mais elle correspond à celle de l'énergie d'un champ stationnaire. Une explication attrayante serait alors qu'elle est simplement égale à l'énergie du vide des champs du modèle standard de la physique des particules, aussi appelée énergie de point zéro, mais cette interprétation se heurte à une difficulté importante. En effet, la densité d'énergie prédite selon cette hypothèse est bien trop grande. La contribution d'un champ sans masse à l'énergie du vide peut être estimée par analogie avec les niveaux d'énergie d'un oscillateur quantique. Ces niveaux sont $E_n = \hbar \omega_{\vec{p}} (\frac{1}{2}+n)$ où $n$ est un entier correspondant au nombre de particules et $\hbar\omega = pc$. Le niveau fondamental $E_0$ correspond donc à une énergie $\frac{1}{2}\hbar \omega_{\vec{p}}$. Reste alors à sommer la contribution de chaque mode $\vec{p}$ : \begin{equation} \rho_{vacuum} = \dfrac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int \dfrac{1}{2} \hbar \omega_{\vec{p}} d^3 p = \dfrac{2\pi c}{(2\pi \hbar)^3} \int p^3 dp \end{equation} Cette somme est divergente, mais on peut supposer que l'intégrande est valide jusqu'à une certaine échelle $\Lambda$ appelée "cut-off". Cette échelle est nécessairement supérieure au TeV puisque le modèle standard de la physique des particules est très bien vérifié en dessous de cette énergie. Elle est par ailleurs probablement inférieure à l'échelle de Planck $M_{pl} = 10^{19}$ GeV. Dans ce cas, $\Lambda = M_{pl}$ et, en unités naturelles ($\hbar = c = 1$), l'expression précédente donne donc une densité d'énergie du vide $\rho_{vacuum} \sim \Lambda^4$. \begin{equation} \rho_{vacuum} \sim M_{pl}^4 = 10^{112} \textrm{eV}^4 \end{equation} Les observations cosmologiques donnent $\rho_{\Lambda} = \Omega_{\Lambda} \rho_c \sim 10^{-16} \textrm{ eV}^4$. De là : \begin{equation} \dfrac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{vacuum}} \sim 10^{128} \end{equation} Ainsi la prédiction théorique est supérieure de plus de 120 ordres de grandeur à la valeur expérimentale. Il y a clairement un problème ! Dans le meilleur des cas, en abaissant le cut-off à l'échelle électrofaible (1 TeV), l'excès est toujours énorme (plus de 60 ordres de grandeur) (Raphael Bousso  2012) . Le fait que la contribution à la constante cosmologique due à l'énergie de point zéro des champs du modèle standard soit bien trop large par rapport à l'ordre de grandeur attendu est appelé "problème d'ajustement fin de la constante cosmologique". Il est assez extraordinaire, si cette interprétation est correcte, que les contributions de chaque champ à l'énergie du vide se compensent miraculeusement pour atteindre une valeur totale si particulière.

Il existe un autre problème plus discutable avec la constante cosmologique, qui consiste à savoir pourquoi sa valeur aujourd'hui est-elle que $\rho_{\Lambda}$ soit du même ordre de grandeur que la densité critique $\rho_c$. Ceci n'étant pas vrai à toute époque ($\rho_\Lambda$ est constante si parfaitement équivalente à une constante cosmologique, alors que $\rho_c$ diminue avec l'expansion), il revient à se demander si le fait que l'on mesure aujourd'hui un paramètre de densité $\Omega_{\Lambda} \equiv \rho_{\Lambda}/\rho_c$ de l'ordre de l'unité est une coincidence.

En réponse à ces problèmes, diverses solutions ont été suggéré, qui restent encore à tester.

Modification de la gravité

Il est possible que l'énergie de point zéro des champs quantiques ne contribue pas comme on le pense à $\rho_{\Lambda}$. Elle peut s'annuler parfaitement, ou bien peut-être nos hypothèses sur l'interaction gravitationnelles sont incorrectes (voir le diagramme de Feynman suivant qui suppose que l'hypothétique graviton se couple avec des boucles qui donnent naissance à l'énergie du vide).

Dans ce cas, la constante cosmologique pourrait être la manifestation d'écarts à la relativité générale, que prédisent par exemple les théories $f(R)$. Ces théories, comme expliquée dans l'article Recherche de la matière noire, proposent de modifier l'action d'Einstein-Hilbert équivalente à l'équation d'Einstein $S=\int R \sqrt{-g}d^4 x$ par $S=\int f(R)\sqrt{-g}d^4 x$. En 2004, Sean Caroll a publié un papier sur le sujet ayant reçu beaucoup d'attention (Sean M. Carroll, Vikram Duvvuri et al.  2004) . Dans son article il montrer que l'ajout d'un terme de la forme $1/R^n$ (donc prédominant lorsque la gravité devient faible, tout comme la constante cosmologique dont l'effet sur l'expansion domine lorsque la densité des autres formes d'énergie devient négligeable) serait une explication plausible évitant le recours à la notion d'énergie noire. Une mesure très précise de $w = P/\rho$ permettrait de trancher. Ces théories peuvent aussi être invalidées par des tests non cosmologiques de la relativité générale (Matteo Cataneo, David Rapetti et al.  2015) (K. Henttunen, T. Multamäki et al.  2008) .

Le principe anthropique et le "landscape" des théories des cordes

Si la constante cosmologique avait pris une valeur de plusieurs ordres de grandeur supérieure, alors la formation des galaxies aurait été impossible car l'effet de répulsion de $\Lambda$ s'oppose à la condensation gravitationnelle (Steven Weinberg  1987) , et nous ne serions pas là pour parler de physique. Toutes les observations que nous faisons sont nécessairement compatibles avec l'existence de la vie humaine, et donc toutes les théories doivent l'être également. Si un paramètre est libre dans un modèle physique (c'est le cas de la constante cosmologique dans la relativité générale), et que nous sommes là pour le mesurer, alors sa valeur doit être telle que nous puissions exister, et donc compatible avec la formation des galaxies. Cette idée est désignée sous le nom de "principe anthropique". Par ailleurs, les travaux effectués sur les théories des cordes et la théorie de l'inflation semblent suggérer les choses suivantes :

1. Les théories des cordes sont capables de prédire un très grand nombre d'états du vide stables ou meta-stables (vacua) (Raphael Bousso  2012) qui peuvent par exemple ressembler à un espace de de-Sitter avec constante cosmologique (Shamit Kachru, Renata Kallosh et al.  2003) . Donc, les théories des cordes semblent autoriser une très large quatnité de valeurs pour $\Lambda$. C'est le "landscape de la théorie des cordes".
2. Un scénario envisageable est qu'une région de l'Univers puisse effectuer une transition vers un autre état du vide (avec une constante cosmologique différente), et grandir avec l'expansion. Ceci est tout à fait similaire au mécanisme original d'inflation proposé par Guth. Cette bulle qui s'expand devient un sous-univers avec sa propre valeur pour $\Lambda$ et d'autres paramètres physiques. Dans ce scénario, on appelle multivers l'ensemble de ces univers "enfants".

De ce point de vue, les théories des cordes pourraient expliquer la petitesse de la constante cosmologique : d'un part, elles prédisent tout un spectre pour $\Lambda$ qui incluerait la valeur observée. D'autre part, elle semble offrir un mécanisme qui permettrait d'atteindre dynamiquement cette valeur. TODO schéma + explications sur la récursivité

Résultats expérimentaux

La caractérisation de l'énergie noire passe principalement par l'étude de son équation d'état. Si le paramètre $w=P/\rho$ de l'énergie noire est laissé libre dans le modèle standard de la cosmologie, alors les derniers résultats de Planck donnent un meilleur "fit" pour $w = -1,006 \pm 0,045$ (P. A. R. Ade, N. Aghanim et al.  2016) , tout à fait compatible avec une constant cosmologique ($w=-1$). Si l'énergie noire est due à un fluide non stationnaire, sa valeur pourrait varier. Le problème est qu'a priori celle-ci n'a d'impact sur l'expansion qu'assez tard dans l'histoire de l'Univers, alors que le facteur d'échelle évolue peu. Une paramétrisation phénoménologique habituelle est une dépendance affine de $w$ avec le facteur d'échelle (P. A. R. Ade, N. Aghanim et al.  2016) : \begin{equation} w(a) = w_0 + w_a(1-a) \end{equation} Celle-ci est vraiment très générique puisqu'elle correspond à un développement de Taylor de $w$ en tant que fonction de $a$. Cependant il existe des modèles spécifiques motivés par la théorie qui permettent de mieux évaluer la dépendance de $w$ attendue avec $a$. C'est le cas par exemple de celui du "slow-rolling scalar field", c'est-à-dire d'un champ scalaire $\phi$ évoluant lentement dans un potentiel $V(\phi)$ pour lequel on a : \begin{equation} w(\phi) = \dfrac{\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-V(\phi)}{\frac{1}{2}\dot{\phi}^2+V(\phi)} \end{equation} Si le champ varie lentement ($\dot{\phi}^2 \ll V(\phi)$) on a bien $w\to -1$. A partir de cette dépendance, des paramétrisations plus spécifiques de $a\mapsto w(a)$ peuvent être établies permettant l'obtention de meilleurs contraintes sur les paramètres physiques du modèle (Zhiqi Huang, J. Richard Bond et al.  2011) . Ceci permet d'exclure certains modèles simplistes (P. A. R. Ade, N. Aghanim et al.  2016) .

Certaines analyses tentent aussi de reconstruire $w$ en fonction de $z = 1/a-1$, "bin à bin", comme sur la figure suivante : Cette méthode a l'avantage de requérir très peu d'hypothèses, mais la contrepartie est d'offrir des résultats très peu contraints.

Futures expériences

Plusieurs expériences

Euclid

Euclid est un projet de télescope spatial doté d'un miroir de 1,2m de diamètre validé par l'Agence Spatiale Européenne (ESA) en 2011 (R. Laureijs, J. Amiaux et al.  2011) . Il doit être lancé en 2020. Il comportera deux instruments :

• Le Near Infrared Spectrometer and Photometer (NISP), sensible aux longueurs d'onde entre 1 et 2 $\mu$m avec une résolution angulaire de l'ordre de 0,3''. Le spectromètre permettra une mesure précise du redshift des objets observés, avec une résolution spectrale $\lambda/\Delta \lambda \sim 250$.
• Le Visible instrument (VIS) doté d'une caméra CCD sensible à l'intervalle de longueurs d'ondes 550-900 nm et d'une résolution de 0,1'' par pixel.

Ces mesures devraient permettre de constituer un catalogue sans précédent d'objets à haut redshift (galaxies, quasars, supernovae). Le volume de détection sera multiplié par 500 par rapport au SDSS. Toutes ces données devraient contribuer à améliorer de façon significative les contraintes sur certains paramètres cosmologiques via l'observation des oscillations acoustiques de baryons et de l'effet de lentille gravitationnelle faible. On attend par exemple une amélioration de la limite sur $w_a$ d'un facteur $\sim$ 50 et de celle sur la somme des masses de neutrinos d'un ordre de grandeur. L'observation de quasars à haut redshift ($z \sim 6 - 8$) devrait apporter des renseignements précieux sur la réionisation.

Wild Field Infrared Survey Telescope (WFIRST)

WFIRST est une mission de la NASA validée en 2016 consistant en un télescope spatial devant être lancé au cours de la prochaine décennie. Le téléscope consistera en un miroir de 2,4m, et ses instruments détecteront des longueurs d'onde comprises entre 0,2 et 1,7 $\mu$m. Il devrait être capable de voir des objets légèrement moins lumineux qu'Euclid (gain de +2 en magnitude). Il viendra donc compléter la mission scientifique d'Euclid. Par ailleurs, il sera doté d'un coronographe, facilitant l'observation d'exoplanètes.

Le fond diffus cosmologique (ou "cosmic microwave background", souvent abbrégé CMB) est un rayonnement de type corps noir (sous forme de photons) globalement homogène et isotrope, qui s'est découplé^[?] de la matière environ 380 000 ans après le big bang. Depuis, avec l'expansion de l'Univers, celui-ci a refroidi pour atteindre sa température actuelle de 2,7 K. Ce rayonnement a été observé pour la première fois dans les micro-ondes, d'où son appellation anglophone. Il prend son origine dans l'état chaud de l'Univers, et a été libéré lorsque la densité de protons et électrons est devenue suffisamment faible avec le refroidissement pour que les photons interagissent peu avec la matière et voyagent librement. Cette transition est appelée "découplage" et est survenue à $z = 1100$ environ.

Le CMB est décrit comme la plus ancienne image de l'Univers. En effet, les photons émis avant le découplage interagissaient très rapidement avec les particules chargées du milieu (électrons, protons), et leur libre parcours moyen était donc très faible. Après le découplage, les interactions deviennent rares et le libre parcours moyen deviant supérieur à la taille de l'Univers. Les photons peuvent ainsi voyager librement, et le rayonnement de fond observé aujourd'hui correspond assez fidèlement à l'image des photons émis alors.

Premières observations et prédictions

Avant les travaux de Alpher, Gamow et Herman à la fin des années 1940, on pense que le rayonnement dans l'Univers est essentiellement d'origine stellaire (interprétation d'Eddington). La température du milieu interstellaire serait donc la température d'équilibre d'un objet dans ce milieu avec le rayonnement provenant des étoiles. Cette température vérifierait donc : \begin{equation} \sigma T_{univers}^4 = p \end{equation} Où $p$ est la puissance moyenne reçue par unité de surface d'origine stellaire en moyenne dans le milieu interstellaire (il s'agit de la puissance totale, la forme du spectre n'ayant ici pas d'importance). Celle-ci doit valoir, si la luminosité moyenne des étoiles est proche de celle du Soleil, de l'ordre de $L_{\odot}/d^2$ où $L_{\odot}$ est la puissance émise par le Soleil et $d$ la distance moyenne entre étoiles. Selon la région sur laquelle la moyenne $d$ est calculée, la valeur peut beaucoup varier - pour l'Univers observable, $d \sim $ 300 al. Mais globalement cela conduit à une valeur $T_{univers}$ de l'ordre de 0,1 K à quelques kelvins (la valeur étant bien sure plus élevée dans les zones où la densité d'étoiles est plus grande). Dans ce cas, le rayonnement possède une caractéristique particulière : son spectre est celui des étoiles qui l'émettent, c'est-à-dire entre l'IR, le visible et l'UV (soit des températures de rayonnement de quelques milliers à quelques dizaines de Kelvins).

La première observation indiquant la présence du fond diffus cosmologique fut faite en 1940 par McKellar, bien qu'elle ne fut pas comprise comme telle à l'époque. McKellar étudiait avait employé un spectrographe installé à l'Observatoire du Mont Wilson pour mesurer le spectre de plusieurs régions du ciel. Les mesures indiquent notamment la présence d'un doublet associé à des transitions rotationnelles de la molécule $CN$, aux alentours de 4000 MHz. McKellar évalue à partir de cette observation une témparature limite pour le milieu interstellaire d'environ 2,3 K, mais reconnait ne pas être capable de déterminer si cette valeur a vraiment un sens.

La première prédiction cosmologique d'un fond de rayonnement est due à Alpher et Herman. En établissant avec Gamow leur théorie de la nucléosynthèse primordiale dans un Univers en Big Bang, ceux-ci remarquèrent que l'Univers devait être très chaud et surtout dominé par le rayonnement à son orgine. Ils soulignèrent alors que ceci impliquerait la présence aujourd'hui d'un fond de rayonnement vestige de cette ère où les photons étaient très énergétiques et gouvernaient l'expansion. A partir de 1948 ils firent plusieurs estimations de la température actuelle de ce rayonnement, estimée entre quelques Kelvins et quelques dizaines de Kelvins. Cependant, leur théorie de la nucléosynthèse semblait une impasse à l'époque, et leurs travaux ne reçurent pas beaucoup d'attention. La différence majeure avec l'interprétation stellaire du fond de rayonnement est le spectre de celui-ci. Dans le cas d'un rayonnement issu des étoiles, le spectre est globalement autour du visible. Dans l'interprétation d'un rayonnement relique du Big Bang, le spectre est celui d'un corps noir à la température du fond (quelques K). Ainsi, cette température peut être mesurée en trouvant la température $T$ telle qu'un corps noir à cette température corresponde au fond diffus (attendu dans les micro-ondes). Cette valeur doit être plus homogène encore que la température d'équilibre stellaire d'Eddington puisqu'elle ne dépend pas de la position relative de l'observateur avec les étoiles.

Découverte de 1964

Voir l'article

Au cours de l'année 1964, deux astronomes américains, Arno Penzias et Robert Wilson, travaillent sur l'antenne cornet d'Holmdel pour les laboratoires Bell. L'objectif de cet antenne construite en 1959 était de détecter l'écho radar de satellites en forme de ballon agissant comme réflecteur. Les deux physiciens devaient cependant s'en servir pour observer la voie lactée à des longueurs d'ondes aux alentours de 7 cm.
Une des difficultés de cette taĉhe est que le faible niveau du signal requiert l'élimination de nombreuses sources de bruit, et notamment du bruit d'origine thermique, par exemple en refroidissant certains instruments jusqu'à 4 K (hélium liquide). Malgré toutes ces précautions, les deux phyisiciens observèrent en mesurant le signal à une longueur d'onde de 7,35cm (4080 MHz) un bruit irréductible équivalent à une température d'environ 3,5 $\pm$ 1 K, indépendant des saisons, dépendant faiblement de la direction, ce qui semblait écarter une origine galactique. (todo + atmo + récepteur).

Parallèlement, Dicke, Peebles, Roll et Wilkinson réétablissent indépendamment l'existence d'un fond de rayonnement photonique dans l'hypothèse d'un Univers né d'un Big Bang chaud. Ils entreprennent même d'établir un instrument pour mesurer cet hypothétique rayonnement. Penzias finit par avoir vent de leurs recherches, et finit par contacter Dicke par téléphone pour lui exposer leur problème. Celui-ci comprend que le bruit mesuré par Penzias et Wilson doit être ce fameux rayonnement qu'ils cherchaient à mesurer. En 1965, les deux groupes publient simultanément un papier tenant compte de leurs résultats, marquant la découverte du fond diffus cosmologique ou CMB (pour Cosmic Microwave Background).

De nouvelles mesures

La première observation du CMB considérée comme une découverte fut réalisée à une seule longueur d'onde (7,35 cm, soit 4080 MHz) avec l'antenne d'Holmdel. Il était alors possible d'en déduire la température d'un corps noir correspondant mais pas de vérifier que le spectre du rayonnement était bien celui d'un corps noir. Rapidement Penzias et Wilson réalisent une nouvelle mesure avec le même dispositif cette fois à une longueur d'onde

Anisotropies du fond diffus cosmologique

Le fond diffus cosmologique n'est, comme notre Univers, par parfaitement homogène. La carte qu'on en dresse contient donc des anisotropies. Leur mesure peut nous renseigner sur de nombreux paramètres cosmologiques classiques (contenu de l'Univers, constante de Hubble) mais aussi sur les fluctuations primordiales de densité, ces déviations initiales par rapport à l'homogénéité, qui ont donné naissance aux grandes structures de l'Univers.

A l'origine, les inhomogénéités de l'Univers prennent leur source dans ce qu'on appelle les fluctuations primordiales de densité. Ces fluctuations sont représentées par des perturbations au premier ordre de la densité, de la vitesse locale de la matière et du potentiel $\phi$ : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \rho(t, \vec{x}) & = & \bar{\rho}(t)+ \delta\rho (t,\vec{x}) \\ \vec{v}(t, \vec{x}) & = & \vec{\bar{v}}(t,\vec{x}) + \vec{\delta v}(t,\vec{x}) \\ \phi(t,\vec{x}) & = & \bar{\phi}(\vec{x}) + \delta \phi(t,\vec{x})\\ \end{matrix}\right.\end{equation} Où $\vec{x}$ sont les coordonnées comobiles. On peut en déduire une solution perturbative au premier ordre en ces variations en injectant ces définitions dans les équations qui régissent le fluide, à savoir les équations d'Euler et de poisson suivantes : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \dot{\rho} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0 \mbox{ (équation de continuité) } \\ \dot{\vec{v}} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = -\nabla (\phi + \dfrac{P}{\rho}) \mbox{ (principe fondamental de la dynamique) }\\ \nabla^2 \phi = 4\pi G \rho \mbox{ (équation de Poisson) }\\ \end{matrix}\right.\end{equation} Il apparait alors que la solution dans l'espace "fréquentiel" (après transformée de fourier spatiale $\vec{x}\to\vec{k}$ de $\delta \rho$) est : \begin{equation} \ddot{\delta\rho}(\vec{k}) + 2 H \dot{\delta\rho}(\vec{k}) + \left ( \dfrac{v_s^2 \vec{k}^2}{a^2} - 4\pi G\bar{\rho}\right ) \delta\rho(\vec{k}) = 0 \end{equation} On en déduit deux types de solutions :

• Si $k < a\sqrt{4\pi G\bar{\rho}}/v_s$, alors les solution sont une croissance sans fin des perturbations.
• Sinon, les solutions sont des oscillations amorties avec une "constante" de temps $1/H$.

Afin d'exploiter statistiquement les anistropies du CMB, on utilise leur spectre de puissance. Celui-ci provient de la décomposition de la carte de températures en harmoniques sphériques : \begin{equation} a_{lm} = \int \Theta(\theta,\phi) Y_{lm}^{*} (\theta,\phi) d^2 \Omega \end{equation} Ici, $\Theta$ est l'écart à la température moyenne dans une direction donnée : \begin{equation} \Theta(\theta,\phi) = \dfrac{T(\theta,\phi)-\bar{T}}{\bar{T}} \end{equation} D'où on tire le spectre de puissance : \begin{equation} C_l = \sum_{-l \leq m \leq l} \dfrac{|a_{lm}|^2}{2l+1} \end{equation} Le multipôle $l$ représente une échelle angulaire $\pi/l$, donc les coefficients à bas $l$ indiquent la corrélation entre des portions du ciel de grande envergure. Lorsque $l$ est petit, la somme se fait sur un nombre petit de termes, car peu de 'modes $m$' indépendants sont disponibles. Cela implique une erreur statistique de l'ordre de $\sqrt{2/(2l+1)}$ sur $C_l$, qui est indépassable par l'expérience. C'est la variance cosmique.

Spectre de puissance et paramètres du modèle standard de la cosmologie

(Max Tegmark  1995)

La mesure du spectre de puissance des anisotropies du fond diffus cosmologique permet d'en déduire les valeurs des paramètres cosmologiques du modèle standard. Cette section montre comment ces paramètres impactent la forme du spectre. Les graphiques ont été générés à l'aide du programme CAMB (Anthony Challinor, Antony Lewis  2005) . Il représentent la courbe $l\mapsto D_l = l(l+1)C_l/2\pi$.

Constante de Hubble

On observe, d'après ces courbes, un décalage progressif vers la gauche de la courbe lorsque $H_0$ augmente. C'est assez facile à comprendre : plus la vitesse de l'expansion est élevée, plus les anisotropies grandissent rapidement. Par conséquent, pour une valeur de $H_0$ un peu plus élevée, une même fluctuation densité primordiale engendrera une "tâche" un peu plus grande, et apparaîtra un peu plus à gauche ($l \sim \pi / \theta$) sur le spectre.

Répartition de l'énergie

Courbure

Les photons du CMB suivent grossièrement des géodésiques de la métrique FLRW après la recombinaison. Ces géodésiques convergent dans le cas d'une géométrie sphérique, et divergent pour une géométrie hyperbolique. La taille angulaire $\Delta \theta$ d'une fluctuation originant d'une perturbation de taille $\Delta L$ vérifie grossièrement $\Delta \theta \sim \Delta L/d_A(z_{recomb})$ où $d_A(z_{recomb})$ est la distance angulaire d'un objet de taille $\Delta L$ à la recombinaison et vaut : \begin{equation} d_A(z_{recomb}) = c a(t_{recomb}) S_k(\int_{t_{recomb}}^{t_0} \dfrac{dt}{a(t)}) \end{equation} L'expression de $S_k$ dépend de la géométrie de l'Univers. La valeur de l'intégrale est principalement déterminée par l'ère pendant laquelle $a$ était petit après la recombinaison, et alors la matière dominait. Cette intégrale vaut alors simplement $ \int_{t_{recomb}}^{t_0} \dfrac{dt}{a(t)} = \int_{0}^{z_{recomb}} \dfrac{dz}{H_0\sqrt{\Omega_m} (1+z)^{3/2}} \simeq 2/H_0\sqrt{\Omega_m}$. Par ailleurs : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} S_k(\chi) & = & R \sin \dfrac{\chi}{R} \mbox{ si } k<0\\ S_k(\chi) & = & \chi \mbox{ si } k=0\\ S_k(\chi) & = & R \sinh \dfrac{\chi}{R} \mbox{ si } k>0 \end{matrix}\right.\end{equation} Et $R = \dfrac{c}{H_0\sqrt{|\Omega_k|}}$ si bien que : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \Delta \theta & \propto & \sqrt{|\Omega_k|}/\sin 2\sqrt{\dfrac{|\Omega_k|}{\Omega_m}} \mbox{ si } k<0\\ \Delta \theta & \propto & \sqrt{\Omega_m}/2 \mbox{ si } k=0\\ \Delta \theta & \propto & {\sqrt{|\Omega_k}|}/\sinh 2\sqrt{\dfrac{|\Omega_k|}{\Omega_m}} \mbox{ si } k>0 \end{matrix}\right.\end{equation} Ainsi, une géométrie sphérique ($\Omega_k < 0$) augmente la taille angulaire des anisotropies, et donc déplace le spectre de puissance vers la gauche, à l'inverse d'une géométrie hyperbolique.

Épaisseur optique

Fluctuations primordiales

Comme le souligne l'échelle verticale logarithmique, multiplier la valeur de cette amplitude d'une certaine quantité a pour effet principal de multiplier le spectre de puissance de la même quantité. Les modèles inflationnaires prédisent des perturbations primordiales de la forme $P(k) \propto k^{-3} \left (\frac{k}{k_0}\right) ^{n_s-1}$. Des petites valeurs de $k$ sont corrélées à des grandes échelles angulaires, si bien qu'une valeur de $n_s$ plus grande augmente les perturbations à petite échelle angulaire (haut $l$). Au contraire, une valeur de $n_s$ inférieure favorise les grandes échelles angulaires.