Une première application de la théorie de la relativité à la cosmologie est due à Einstein lui-même, en 1917 (A. Einstein  ) . Il suppose que l'Univers respecte le principe cosmologique, c'est-à-dire qu'il est homogène et isotrope. Il estime aussi que celui-ci doit être statique, et qu'il ne contient que de la matière non relativiste. Il réalise que pour concilier ces hypothèses, il faut introduire un nouveau terme dans l'équation d'Einstein : c'est ainsi qu'il ajoute à son modèle la constante cosmologique. Il trouve par ailleurs qu'un tel Univers doit avoir une courbure positive, c'est-à-dire une géométrie sphérique. Ce modèle, appelé Univers d'Einstein, présente quelques problèmes : d'abord, il est instable. D'autre part, la constante cosmologique, introduite comme paramètre, doit prendre une valeur très précise pour que l'Univers demeure statique.

L'article d'Einstein de Février 1917 sur les implications cosmologiques de la relativité générale.

Dans cet article, Einstein commence par montrer comment les conditions aux limites qui avec l'équation de Poisson donnent la description Newtonienne de la gravité échouent à décrire un Univers infini, à moins d'introduire un terme de la forme $\lambda \phi$ dans $\Delta \phi = 4\pi G\rho$. Puis, il se place dans le cadre de sa théorie de la relativité générale, suppose un univers fermé, et en déduit sa géométrie sphérique. Il introduit également la constante cosmologique, qu'il note $\lambda$, afin d'assurer que cet univers demeure semi-statique, tout en soulignant l'analogie avec l'exemple newtonien.

A cette époque, Einstein correspond avec Willem de Sitter, un physicien néerlandais. Celui-ci propose une alternative à l'Univers d'Einstein en requérant une certaine symétrie entre toutes les coordonnées de l'espace-temps, y compris le temps. Il remarque qu'un tel Univers est une solution du vide - c'est-à-dire en l'absence de toute forme de matière ou d'énergie - des équations d'Einstein avec une constante cosmologique quelconque. Selon la valeur de cette constante, un tel univers peut être en expansion ou au contraire en contraction.

Une alternative à ces deux modèles est présentée quelques années plus tard par Alexandre Friedmann, un physicien et mathématicien russe. En 1922, il publie un article intitulé "Sur la courbure de l'espace", dans lequel il applique l'équation d'Einstein avec une constante cosmologique de valeur quelconque à un Univers homogène, isotrope, de géométrie sphérique ou plate et constitué de matière non relativiste. Cependant, à la différence d'Einstein, il ne le suppose pas statique. Il obtient alors ce qu'on appelle aujourd'hui les équations de Friedmann et trouve que l'Univers peut évoluer de plusieurs façons, comme s'expandre indéfiniment, ou observer une dynamique périodique. En 1924, il montre qu'il existe des solutions de géométrie hyperbolique. Ces résultats purement théoriques - Friedmann ne suggérant aucune expérience ou observation permettant de les confronter n'auront pas d'impact immédiat

Il faut attendre les travaux de Georges Lemaître pour qu'un lien soit établi entre modèle cosmologique et observations astronomiques. En 1927, il propose un modèle qu'il appelle "Univers d'Einstein à rayon variable" (sphérique), c'est-à-dire similaire à celui décrit par Friedmann en 1922, mais avec quelques avancées notoires. En effet, en plus de la présence de matière non relativiste et de l'effet d'une constante cosmologique, Lemaître intègre une composante ultrarelativiste de matière (rayonnement) à ses calculs. Mais surtout, il donne des arguments physiques en faveur de son modèle d'Univers variable. Premièrement, il note que le "modèle A" d'Einstein est pertinent puisqu'il tient compte de la présence de masse dans l'Univers. Mais il montre aussi un résultat très important : un Univers en expansion (comme dans le "modèle B" de De Sitter) peut expliquer la fuite apparente des "nébuleuses spirales" observée par Slipher ! Il est alors naturel de proposer un modèle d'Univers fait de matière et en expansion. Lemaître obtient par ailleurs une relation liant la vitesse apparente de fuite $v$ d'une nébuleuse spirale telle que mesurée par effet doppler, la distance $d$ qui nous sépare de celle ci et le taux d'expansion de l'Univers (de rayon $R$) : \begin{equation} v = \left (\dfrac{c}{R} \dfrac{dR}{dt} \right ) d \textrm{ si } \ v \ll c \textrm{ càd } \ \ d \ll R \end{equation} Ce résultat peut être testé expérimentalement : il suffit de vérifier que la vitesse de fuite de galaxies est proportionnelle à leur distance avec nous. La mesure du coefficient de proportionnalité donne directement la valeur de $K = \frac{c\dot{R}}{R}$. La difficulté est d'évaluer ces distances.

Les équations de Friedmann sont les équations qui décrivent un Univers homogène isotrope obéissant aux équations d'Einstein. Pour un univers de facteur d'échelle $a$, de rayon de courbure $R$ et constitué de différentes formes d'énergie de densités $\rho_i$, de pression $P_i$ et d'équation d'état $f_i(\rho_i,P_i) = 0$ :\begin{equation}\left\{\begin{matrix} \dot{a}^2-\dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i a^2 & = & \dfrac{kc^2}{R^2} & \mbox{ (1)}\\ \dfrac{d}{dt}\left ( \rho_i a^3 \right ) & = & -P_i \dfrac{d}{dt} \left (a^3 \right) & \mbox{ (2)}\\ f_i(\rho_i,P_i) & = &0 & \mbox{ (3)}\\ \end{matrix}\right.\end{equation} La première équation décrit la dynamique de l'Univers en fonction de son contenu. La seconde équation traduit le premier principe de la thermodynamique. La troisième équation indique simplement la relation entre densité et pression imposée par l'équation d'état de la $i$-ème forme d'énergie. On distingue trois formes d'énergie caractéristiques d'équations d'état particulières :

• La matière "froide" (aussi dite non relativiste ou poussière). C'est la matière ordinaire massive dont la vitesse est très inférieure à celle de la lumière. Pour un gaz parfait non relativiste, $P/\rho \propto v^2/c^2$ et on peut considérer $P = 0$. L'équation (2) donne alors $\rho a^3 = \mbox{ cste } = \rho_0$.
• Les rayonnements. C'est la lumière ou de la matière ultrarelativiste comme les neutrinos ($v\sim c$). L'équation d'état est alors $P = \rho/3$. L'équation (2) donne cette fois $\rho a^4 = \mbox{ cste } = \rho_0$.
• L'énergie du vide. Cette énergie d'équation d'état $P=-\rho$ est équivalente à l'introduction d'une constante cosmologique. Selon l'équation (2), $\rho = \mbox{cste} = \rho_0$.
• De façon plus générale, pour une énergie d'équation d'état $P=w\rho$ où $w$ est une constante, alors l'équation (2) implique $\rho a^{3(1+w)} = \mbox{cste}$

Paramètres de densité

On divise l'équation (1) par le carré de la constante de Hubble actuelle $H_0 = \dot{a}/a (t=0)$, puis on la redivise par $a^2$. On trouve alors : \begin{equation} \dfrac{1}{H_0^2} \left (\dfrac{\dot{a}}{a}\right )^2 - \displaystyle \sum_i \dfrac{\rho_i(t)}{\rho_c} = \dfrac{kc^2}{R^2 H_0^2 a^2} \end{equation} Où l'on a introduit la densité critique $\rho_c$ : \begin{equation} \rho_c = \dfrac{3c^2 H_0^2}{8\pi G} \end{equation} On suppose que l'Univers est constitué de matière froide ($\rho_m = \rho_m^0/a^3$), de rayonnement ($\rho_r = \rho_r^0/a^4$), d'énergie du vide ($\rho_v = \rho_v^0$) et d'une espèce telle que $P = w\rho$ donc $\rho_w = \rho_w^0 a^{-3(1+w)}$. On définit le rapport entre la densité d'une espèce aujourd'hui et la densité critique actuelle comme : \begin{equation} \Omega_i \equiv \dfrac{\rho_i^0}{\rho_c} \end{equation} On définit par ailleurs le paramètre de courbure $\Omega_k$ tel que : \begin{equation} \Omega_k = \dfrac{kc^2}{R^2 H_0^2} \end{equation} Alors la dynamique du facteur d'échelle est donnée par : \begin{equation} \dfrac{1}{H_0^2} \left (\dfrac{\dot{a}}{a}\right )^2 - \left ( \dfrac{\Omega_m}{a^3} + \dfrac{\Omega_r}{a^4} + \Omega_v + \dfrac{\Omega_w}{a^{3(1+w)}}\right ) = \dfrac{\Omega_k}{a^2} \end{equation} Les quantités $\Omega_i$ sont appelées "paramètres de densité", et sont plus souvent utilisées que les densités elles mêmes. Leur valeur indique la proportion d'énergie contenue sous une forme précise. En évaluant l'équation à $t=0$ il vient : \begin{equation} 1-\Omega_m - \Omega_r - \Omega_v - \Omega_w = \Omega_k \end{equation} Cette équation signifie que la courbure de l'Univers est imposée différence entre la densité critique et la densité totale $\rho_{total}$. Une densité totale inférieure à $\rho_c$ implique $\Omega_k > 0$ et donc un Univers hyperbolique. A l'inverse, $\rho_{total} < \rho_c$ implique une géométrie sphérique. Le cas d'égalité correspond à un Univers plat.

Démonstration

Solutions particulières de l'équation de Friedmann

On peut résoudre l'équation de Friedmann dans un certain nombre de configurations particulières. Par exemple on peut considérer en effet que l'Univers est dominé par une certaine forme d'énergie

Univers de poussière

Dans un tel univers, $P=0$. De là le facteur d'échelle obéit à l'équation : \begin{equation} \dot{a}^2 - H_0^2\dfrac{\Omega_m}{a} = \dfrac{kc^2}{R^2} = H_0^2 \Omega_k = H_0^2 (1-\Omega_m) \end{equation} Cette équation ressemble beaucoup à l'équation du mouvement d'une particule-test dans le champ gravitationnel d'une masse $M$ (problème à deux corps) : \begin{equation} \dfrac{1}{2}\dot{x}^2 - \dfrac{GM}{x} = E \end{equation} Cela est naturel puisque la matière froide n'est pas relativiste et la matière non relativiste est décrite par la mécanique newtonienne. Il y a alors 3 solutions possibles selon le signe de $k/R^2$, de même qu'il existe trois solutions possibles au problème à deux corps (trajectoire hyperbolique, parabolique ou elliptique).

• Pour un Univers plat ($k/R^2 = 0$, $\Omega_m = 1$), en expansion, la solution est alors, si $a(0) = 1$ où $t=0$ désigne l'époque actuelle : \begin{equation} a^{3/2}(t) = 1 + \dfrac{3}{2} H_0 t \end{equation} Cet univers "nait" à $t= - \dfrac{2}{3} H_0$ et ne cesse de s'expandre depuis. Son âge est donc $T = \dfrac{2}{3} H_0$.
• Pour un Univers sphérique ($k/R^2 < 0$, $\Omega_m > 1$), la solution est alors : \begin{equation} \left ( \dfrac{\Omega_m}{\Omega_m-1}\right)^{3/2} \left [ u\sqrt{1-u^2}-\sin^{-1} u\right ]_{ \sqrt{(\Omega_m-1)/\Omega_m}}^{ \sqrt{a(\Omega_m-1)/\Omega_m}} = \mp \sqrt{\Omega_m} t \end{equation}
• Pour un Univers hyperbolique ($\Omega_m < 1$) : \begin{equation} \left ( \dfrac{\Omega_m}{(1-\Omega_m)}\right)^{3/2} \left [ u\sqrt{1+u^2}-\sinh^{-1} u\right ]_{ \sqrt{(1-\Omega_m)/\Omega_m}}^{ \sqrt{a(1-\Omega_m)/\Omega_m}} = \pm \sqrt{\Omega_m} t \end{equation}

Facteur d'échelle d'un univers dominé par de la matière non relativiste (gnuplot)

Évolution du facteur d'échelle pour un Univers dominé par la poussière et pour différentes valeurs de $\Omega_m$.

Univers de rayonnement (ou de lumière)

Un univers dominé par les radiations obéit à l'équation d'état $P = \rho/3$. L'équation (2) donne alors $\rho a^4 = \mbox{ cste } = \rho_0$. Alors l'équation à résoudre est : \begin{equation} \dot{a}^2 - H_0^2 \dfrac{\Omega_r}{a^2} = H_0^2(1-\Omega_r) \end{equation} On suppose par ailleurs $\dot{a} > 0$.

• La solution en Univers plat est alors simple : $a^2(t) - 1 = 2 H_0 t$
• Pour $k \neq 0$ ($\Omega_r \neq 1$) \begin{equation} \dfrac{1}{1-\Omega_r} \left [ \sqrt{(1-\Omega_r) a^2+ \Omega_r} - 1 \right ] = H_0 t \end{equation} Si de plus $k<0$ (géométrie sphérique), alors l'Univers atteint une densité minimale ($a \leq \sqrt{\dfrac{\Omega_r}{\Omega_r-1}}$) puis se recontracte. Preuve :
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  On réécrit l'équation sous la forme : \begin{equation} \left (\dfrac{da}{dt} \right )^2 - \dfrac{\beta}{a^2} = \alpha \end{equation} Qu'on résout par séparation des variables : \begin{equation} \dfrac{da}{\sqrt{\alpha + \beta/a^2}} = \dfrac{a da}{\sqrt{\alpha a^2 + \beta}} = dt \end{equation} Ce qui intégré entre $a(t=0)=1$ et $a(t)$ donne : \begin{equation} \dfrac{1}{\alpha} \left ( \sqrt{\alpha a^2 + \beta} - \sqrt{\alpha+\beta} \right ) = t \end{equation} Cet Univers existe tant que $a^2 \geq - \dfrac{\alpha}{\beta}$. Si $k<0$, alors ceci requiert $a \geq \sqrt{\dfrac{-\alpha}{\beta}} = a_{min}$. Ce facteur d'échelle minimum est atteint pour $t = -\sqrt{\alpha+\beta}$.

Facteur d'échelle d'un univers dominé par le rayonnement (gnuplot)
Évolution du facteur d'échelle pour un Univers dominé par le rayonnement pour différentes valeurs de $\Omega_r$.

Univers d'énergie du vide

L'énergie du vide a pour équation d'état $P=-\rho$ ce qui après résolution de (2) donne $\rho = \mbox{ cste } = \rho_0$. Dès lors : \begin{equation} \dot{a}^2 - H_0^2 \Omega_{\Lambda} a^2 = H_0^2 (1-\Omega_{\Lambda}) \end{equation}

• La solution en Univers plat est alors : \begin{equation} a(t) = \exp{\left( H_0 t\right )} \end{equation} Un tel Univers peut alors s'expandre ou se contracter de façon exponentielle.
• $k>0$, $\Omega_{\Lambda} < 1$ (géométrie hyperbolique) \begin{equation}\left\{\begin{matrix} a(t) = &A\sinh \left [ H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}}(t+T) \right ] \\ T = &\pm \tau \tanh^{-1} \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \\ A = &\sqrt{\dfrac{1-\Omega_{\Lambda}}{\Omega_{\Lambda}}} \\ \tau = & 1/H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \\ \end{matrix}\right.\end{equation} Cet Univers atteint une densité infinie à la date $T$, soit antérieure, soit postérieure à la date actuelle.
• $k<0$, $\Omega_{\Lambda} > 1$(géométrie sphérique) : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} a(t) = &A\cosh \left [ H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} (t+T) \right ] \\ T = &\pm \tau \tanh^{-1} 1/\sqrt{\Omega_{\Lambda}} \\ A = &\sqrt{\dfrac{\Omega_{\Lambda}-1}{\Omega_{\Lambda}}} \\ \tau = & 1/H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \\ \end{matrix}\right.\end{equation} Cet Univers atteint une densité maximale à la date $T$, soit antérieure, soit postérieure à la date actuelle.
Preuve
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L'équation de Friedmann peut être réécrite sous la forme \begin{equation} \dot{a}^2 - \beta a^2 = \alpha \end{equation} En la dérivant il vient alors : \begin{equation} \ddot{a} - \beta a = 0 \end{equation} La solution générale de cette équation a donc pour forme : \begin{equation} a(t) = \lambda \cosh(\sqrt{\beta} t) + \mu \sinh(\sqrt{\beta} t) \end{equation} Par ailleurs $a(0) = 1$ donc $\lambda = 1$. D'autre part $\dot{a}^2(0) = \alpha+\beta$ Donc $\mu ^2 \beta = \alpha + \beta$ et $\mu = \pm \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}}$ Et finalement : \begin{equation} a(t) = \cosh(\sqrt{\beta} t) \pm \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}} \sinh(\sqrt{\beta} t) \end{equation} On veut mettre ceci sous la forme $a(t) = A \cosh {\sqrt{\beta}(t-T)}$. On utilise pour cela la relation $\cosh (x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y)$. On a alors : \begin{equation} A \cosh {\sqrt{\beta}t} \cosh {\sqrt{\beta}T} - A \sinh {\sqrt{\beta}t} \sinh {\sqrt{\beta}T} \\ = \cosh(\sqrt{\beta} t) \pm \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}} \sinh(\sqrt{\beta} t) \end{equation} De cela on tire à la fois $A\cosh {\sqrt{\beta}T} = 1$ et $\pm A\sinh{\sqrt{\beta}T} = \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}}$. Ce qui entraine : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} T = & \mp \dfrac{1}{\sqrt{\beta}} \tanh^{-1} \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}} \\ A = & \sqrt{-\dfrac{\alpha}{\beta}} \end{matrix}\right.\end{equation} Ceci n'est donc possible que si $\alpha < 0$. Dans ce cas on a bien : \begin{equation} a(t) = -\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}} \cosh { \left [ \sqrt{\beta} t - \tanh^{-1} \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}}\right ] } \end{equation} Dans le cas $\alpha > 0$, on peut écrire $a(t)$ sous la forme $A \sinh {\sqrt{\beta}(t-T)}$. On invoque cette fois l'égalité $\sinh (x+y) = \sinh(x)\cosh(y) + \sinh(y)\cosh(x)$. Cette fois il apparait que : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} T = & \mp \dfrac{1}{\sqrt{\beta}} \tanh^{-1} \sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{\alpha}{\beta}}} \\ A = & \sqrt{+\dfrac{\alpha}{\beta}} \end{matrix}\right.\end{equation} Enfin, si $\alpha = 0$, alors $\mu = \pm 1$, donc $a(t) = \exp{\dfrac{1}{\sqrt{\beta}}t}$
Notons que si l'énergie du vide est l'effet d'une constante cosmologique $\Lambda$ non nulle alors $\Omega_{\Lambda} = \Lambda c^2/3H_0^2$.

Facteur d'échelle d'un univers dominé par la constante cosmologique (gnuplot)
Évolution du facteur d'échelle pour un Univers dominé par la constante cosmologique (ou l'énergie du vide si $w=-1$) pour différentes valeurs de $\Omega_\Lambda$.

Univers vide

Un univers vide vérifie simplement l'équation \begin{equation} \dot{a}^2 = H_0^2 \Omega_{k} = H_0^2 \end{equation} Un tel Univers ne peut être de géométrie sphérique ! Il est hyperbolique ou plat en l'absence d'expansion. La solution est alors : \begin{equation} a(t) = \pm H_0 t + 1 \end{equation} L'âge d'un tel Univers (s'il est en expansion) ou son espérance de vie (s'il est en contraction) est alors $T = R/c = 1/H_0$. Un Univers plat et vide est statique.