Modèle standard de la cosmologie : le modèle $\Lambda$CDM

L'expérience COBE qui a accompli ses objectifs a été un grand succès, mais il y a encore beaucoup de marge pour des expériences de meilleures précisions. Par ailleurs, les récents développements, comme la découverte de l'accélération de l'Univers, et la mise au point de théories inflationnaires, suggèrent un modèle cosmologique standard appelé modèle $\Lambda$CDM. Ce modèle suppose que l'Univers est aujourd'hui exclusivement constitué (à l'exception du rayonnement du fond diffus cosmologique) de matière froide ($P=0$) et d'énergie du vide (d'équation d'état $P = -\rho$), en proportions telles que l'Univers soit plat.

L'expérience WMAP

En 2001, le satellite WMAP, pour une mission organisée par la NASA, (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) est lancé et mis sur obite au point de Lagrange L2, à environ 1,5 million de kilomètres de la Terre. Ce satellite utilise des radiomètres différentiels pour mesurer les différences d'intensité du flux électromagnétique entre deux directions angulaires sur 5 bandes de fréquences comprises entre 22 et 90 GHz. Ceux-ci réalisent des mesures dans deux directions de polarisation différentes. Le diamètre des réflecteurs employés est d'environ 1,5 m. L'appareil est capable de mesurer des différences de température à une précision de 20 $\mu K$ et avec une résolution angulaire comprise entre 0,2$^{\circ}$ et 1$^{\circ}$ selon la longueur d'onde observée. La prise de données dure 9 ans, jusqu'en 2010, et fournit les cartes de température du fond diffus cosmologique les plus précises alors. Une description très complète de l'expérience est disponible à l'adresse http://map.gsfc.nasa.gov/mission/.

La carte finale est représentée sur la figure suivante

Carte de température du fond diffus cosmologique par WMAP

Carte de température du fond diffus cosmologique par WMAP, après 9 ans de collecte de données (C. L. Bennett, D. Larson et al.  2013) .

Spectre de puissance du fond diffus cosmologique relevé par WMAP et modèle standard

Comparaison entre le spectre de puissance du fond diffus cosmologique mesuré par WMAP et la courbe théorique correspondant au jeu de paramètres du modèle standard de la cosmologie ($\Lambda$CDM)donnant le meilleur accord (C. L. Bennett, D. Larson et al.  2013) . Cela permet une mesure simultanée de nombreux paramètres cosmologiques, et montrer l'accord excellent entre observation et modèle théorique.

Mesure des paramètres cosmologiques par WMAP

Après 9 ans de prise de données, WMAP réalise des mesures simultanées de haute précision des paramètres du modèle $\Lambda$CDM et de paramètres dérivés.

L'expérience Planck

L'expérience Planck, organisée par l'agence spatiale européenne, vise à confirmer les résultats de WMAP et améliorer encore leur précision. Lancé en 2009 à Kourou, le satellite Planck a collecté des données jusqu'en 2013, avec une extrême précision. Il est constitué de deux appareils de mesures principaux, le premier étant le Low Frequency Instrument mesurant l'intensité électromagnétique à des fréquences similaires à celles détectées par COBE et WMAP (30, 44 et 70 GHz) et un instrument haute fréquence (6 fréquences entre 100 et 857 GHz). Pour atteindre le degré de précision requis, certains appareils sont refroidis à une température de 0,1 K. La précision angulaire est comprise entre 0,1$^{\circ}$ et 0.5$^{\circ}$ selon la fréquence d'observation.

La mission est un grand succès et les résultats sont les plus précis à ce jour. Ils exploitent toute l'information cosmologique contenue dans le spectre de puissance du fond diffus cosmologique disponible à 'bas' multipôles (erreur systématique inférieure à la variance cosmique).

Carte finale des anisotropies du fond diffus cosmologique par Planck

(P. A. R. Ade, N. Aghanim et al.  2014)

Spectre de puissance du fond diffus cosmologique comparé au modèle $\Lambda$CDM

(P. A. R. Ade, N. Aghanim et al.  2016)

Les équations de Friedmann sont les équations qui décrivent un Univers homogène isotrope obéissant aux équations d'Einstein. Pour un univers de facteur d'échelle $a$, de rayon de courbure $R$ et constitué de différentes formes d'énergie de densités $\rho_i$, de pression $P_i$ et d'équation d'état $f_i(\rho_i,P_i) = 0$ :\begin{equation}\left\{\begin{matrix} \dot{a}^2-\dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i a^2 & = & \dfrac{kc^2}{R^2} & \mbox{ (1)}\\ \dfrac{d}{dt}\left ( \rho_i a^3 \right ) & = & -P_i \dfrac{d}{dt} \left (a^3 \right) & \mbox{ (2)}\\ f_i(\rho_i,P_i) & = &0 & \mbox{ (3)}\\ \end{matrix}\right.\end{equation} La première équation décrit la dynamique de l'Univers en fonction de son contenu. La seconde équation traduit le premier principe de la thermodynamique. La troisième équation indique simplement la relation entre densité et pression imposée par l'équation d'état de la $i$-ème forme d'énergie. On distingue trois formes d'énergie caractéristiques d'équations d'état particulières :

• La matière "froide" (aussi dite non relativiste ou poussière). C'est la matière ordinaire massive dont la vitesse est très inférieure à celle de la lumière. Pour un gaz parfait non relativiste, $P/\rho \propto v^2/c^2$ et on peut considérer $P = 0$. L'équation (2) donne alors $\rho a^3 = \mbox{ cste } = \rho_0$.
• Les rayonnements. C'est la lumière ou de la matière ultrarelativiste comme les neutrinos ($v\sim c$). L'équation d'état est alors $P = \rho/3$. L'équation (2) donne cette fois $\rho a^4 = \mbox{ cste } = \rho_0$.
• L'énergie du vide. Cette énergie d'équation d'état $P=-\rho$ est équivalente à l'introduction d'une constante cosmologique. Selon l'équation (2), $\rho = \mbox{cste} = \rho_0$.
• De façon plus générale, pour une énergie d'équation d'état $P=w\rho$ où $w$ est une constante, alors l'équation (2) implique $\rho a^{3(1+w)} = \mbox{cste}$

Paramètres de densité

On divise l'équation (1) par le carré de la constante de Hubble actuelle $H_0 = \dot{a}/a (t=0)$, puis on la redivise par $a^2$. On trouve alors : \begin{equation} \dfrac{1}{H_0^2} \left (\dfrac{\dot{a}}{a}\right )^2 - \displaystyle \sum_i \dfrac{\rho_i(t)}{\rho_c} = \dfrac{kc^2}{R^2 H_0^2 a^2} \end{equation} Où l'on a introduit la densité critique $\rho_c$ : \begin{equation} \rho_c = \dfrac{3c^2 H_0^2}{8\pi G} \end{equation} On suppose que l'Univers est constitué de matière froide ($\rho_m = \rho_m^0/a^3$), de rayonnement ($\rho_r = \rho_r^0/a^4$), d'énergie du vide ($\rho_v = \rho_v^0$) et d'une espèce telle que $P = w\rho$ donc $\rho_w = \rho_w^0 a^{-3(1+w)}$. On définit le rapport entre la densité d'une espèce aujourd'hui et la densité critique actuelle comme : \begin{equation} \Omega_i \equiv \dfrac{\rho_i^0}{\rho_c} \end{equation} On définit par ailleurs le paramètre de courbure $\Omega_k$ tel que : \begin{equation} \Omega_k = \dfrac{kc^2}{R^2 H_0^2} \end{equation} Alors la dynamique du facteur d'échelle est donnée par : \begin{equation} \dfrac{1}{H_0^2} \left (\dfrac{\dot{a}}{a}\right )^2 - \left ( \dfrac{\Omega_m}{a^3} + \dfrac{\Omega_r}{a^4} + \Omega_v + \dfrac{\Omega_w}{a^{3(1+w)}}\right ) = \dfrac{\Omega_k}{a^2} \end{equation} Les quantités $\Omega_i$ sont appelées "paramètres de densité", et sont plus souvent utilisées que les densités elles mêmes. Leur valeur indique la proportion d'énergie contenue sous une forme précise. En évaluant l'équation à $t=0$ il vient : \begin{equation} 1-\Omega_m - \Omega_r - \Omega_v - \Omega_w = \Omega_k \end{equation} Cette équation signifie que la courbure de l'Univers est imposée différence entre la densité critique et la densité totale $\rho_{total}$. Une densité totale inférieure à $\rho_c$ implique $\Omega_k > 0$ et donc un Univers hyperbolique. A l'inverse, $\rho_{total} < \rho_c$ implique une géométrie sphérique. Le cas d'égalité correspond à un Univers plat.

Démonstration

Solutions particulières de l'équation de Friedmann

On peut résoudre l'équation de Friedmann dans un certain nombre de configurations particulières. Par exemple on peut considérer en effet que l'Univers est dominé par une certaine forme d'énergie

Univers de poussière

Dans un tel univers, $P=0$. De là le facteur d'échelle obéit à l'équation : \begin{equation} \dot{a}^2 - H_0^2\dfrac{\Omega_m}{a} = \dfrac{kc^2}{R^2} = H_0^2 \Omega_k = H_0^2 (1-\Omega_m) \end{equation} Cette équation ressemble beaucoup à l'équation du mouvement d'une particule-test dans le champ gravitationnel d'une masse $M$ (problème à deux corps) : \begin{equation} \dfrac{1}{2}\dot{x}^2 - \dfrac{GM}{x} = E \end{equation} Cela est naturel puisque la matière froide n'est pas relativiste et la matière non relativiste est décrite par la mécanique newtonienne. Il y a alors 3 solutions possibles selon le signe de $k/R^2$, de même qu'il existe trois solutions possibles au problème à deux corps (trajectoire hyperbolique, parabolique ou elliptique).

• Pour un Univers plat ($k/R^2 = 0$, $\Omega_m = 1$), en expansion, la solution est alors, si $a(0) = 1$ où $t=0$ désigne l'époque actuelle : \begin{equation} a^{3/2}(t) = 1 + \dfrac{3}{2} H_0 t \end{equation} Cet univers "nait" à $t= - \dfrac{2}{3} H_0$ et ne cesse de s'expandre depuis. Son âge est donc $T = \dfrac{2}{3} H_0$.
• Pour un Univers sphérique ($k/R^2 < 0$, $\Omega_m > 1$), la solution est alors : \begin{equation} \left ( \dfrac{\Omega_m}{\Omega_m-1}\right)^{3/2} \left [ u\sqrt{1-u^2}-\sin^{-1} u\right ]_{ \sqrt{(\Omega_m-1)/\Omega_m}}^{ \sqrt{a(\Omega_m-1)/\Omega_m}} = \mp \sqrt{\Omega_m} t \end{equation}
• Pour un Univers hyperbolique ($\Omega_m < 1$) : \begin{equation} \left ( \dfrac{\Omega_m}{(1-\Omega_m)}\right)^{3/2} \left [ u\sqrt{1+u^2}-\sinh^{-1} u\right ]_{ \sqrt{(1-\Omega_m)/\Omega_m}}^{ \sqrt{a(1-\Omega_m)/\Omega_m}} = \pm \sqrt{\Omega_m} t \end{equation}

Facteur d'échelle d'un univers dominé par de la matière non relativiste (gnuplot)

Évolution du facteur d'échelle pour un Univers dominé par la poussière et pour différentes valeurs de $\Omega_m$.

Univers de rayonnement (ou de lumière)

Un univers dominé par les radiations obéit à l'équation d'état $P = \rho/3$. L'équation (2) donne alors $\rho a^4 = \mbox{ cste } = \rho_0$. Alors l'équation à résoudre est : \begin{equation} \dot{a}^2 - H_0^2 \dfrac{\Omega_r}{a^2} = H_0^2(1-\Omega_r) \end{equation} On suppose par ailleurs $\dot{a} > 0$.

• La solution en Univers plat est alors simple : $a^2(t) - 1 = 2 H_0 t$
• Pour $k \neq 0$ ($\Omega_r \neq 1$) \begin{equation} \dfrac{1}{1-\Omega_r} \left [ \sqrt{(1-\Omega_r) a^2+ \Omega_r} - 1 \right ] = H_0 t \end{equation} Si de plus $k<0$ (géométrie sphérique), alors l'Univers atteint une densité minimale ($a \leq \sqrt{\dfrac{\Omega_r}{\Omega_r-1}}$) puis se recontracte. Preuve :
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  On réécrit l'équation sous la forme : \begin{equation} \left (\dfrac{da}{dt} \right )^2 - \dfrac{\beta}{a^2} = \alpha \end{equation} Qu'on résout par séparation des variables : \begin{equation} \dfrac{da}{\sqrt{\alpha + \beta/a^2}} = \dfrac{a da}{\sqrt{\alpha a^2 + \beta}} = dt \end{equation} Ce qui intégré entre $a(t=0)=1$ et $a(t)$ donne : \begin{equation} \dfrac{1}{\alpha} \left ( \sqrt{\alpha a^2 + \beta} - \sqrt{\alpha+\beta} \right ) = t \end{equation} Cet Univers existe tant que $a^2 \geq - \dfrac{\alpha}{\beta}$. Si $k<0$, alors ceci requiert $a \geq \sqrt{\dfrac{-\alpha}{\beta}} = a_{min}$. Ce facteur d'échelle minimum est atteint pour $t = -\sqrt{\alpha+\beta}$.

Facteur d'échelle d'un univers dominé par le rayonnement (gnuplot)
Évolution du facteur d'échelle pour un Univers dominé par le rayonnement pour différentes valeurs de $\Omega_r$.

Univers d'énergie du vide

L'énergie du vide a pour équation d'état $P=-\rho$ ce qui après résolution de (2) donne $\rho = \mbox{ cste } = \rho_0$. Dès lors : \begin{equation} \dot{a}^2 - H_0^2 \Omega_{\Lambda} a^2 = H_0^2 (1-\Omega_{\Lambda}) \end{equation}

• La solution en Univers plat est alors : \begin{equation} a(t) = \exp{\left( H_0 t\right )} \end{equation} Un tel Univers peut alors s'expandre ou se contracter de façon exponentielle.
• $k>0$, $\Omega_{\Lambda} < 1$ (géométrie hyperbolique) \begin{equation}\left\{\begin{matrix} a(t) = &A\sinh \left [ H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}}(t+T) \right ] \\ T = &\pm \tau \tanh^{-1} \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \\ A = &\sqrt{\dfrac{1-\Omega_{\Lambda}}{\Omega_{\Lambda}}} \\ \tau = & 1/H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \\ \end{matrix}\right.\end{equation} Cet Univers atteint une densité infinie à la date $T$, soit antérieure, soit postérieure à la date actuelle.
• $k<0$, $\Omega_{\Lambda} > 1$(géométrie sphérique) : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} a(t) = &A\cosh \left [ H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} (t+T) \right ] \\ T = &\pm \tau \tanh^{-1} 1/\sqrt{\Omega_{\Lambda}} \\ A = &\sqrt{\dfrac{\Omega_{\Lambda}-1}{\Omega_{\Lambda}}} \\ \tau = & 1/H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \\ \end{matrix}\right.\end{equation} Cet Univers atteint une densité maximale à la date $T$, soit antérieure, soit postérieure à la date actuelle.
Preuve
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L'équation de Friedmann peut être réécrite sous la forme \begin{equation} \dot{a}^2 - \beta a^2 = \alpha \end{equation} En la dérivant il vient alors : \begin{equation} \ddot{a} - \beta a = 0 \end{equation} La solution générale de cette équation a donc pour forme : \begin{equation} a(t) = \lambda \cosh(\sqrt{\beta} t) + \mu \sinh(\sqrt{\beta} t) \end{equation} Par ailleurs $a(0) = 1$ donc $\lambda = 1$. D'autre part $\dot{a}^2(0) = \alpha+\beta$ Donc $\mu ^2 \beta = \alpha + \beta$ et $\mu = \pm \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}}$ Et finalement : \begin{equation} a(t) = \cosh(\sqrt{\beta} t) \pm \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}} \sinh(\sqrt{\beta} t) \end{equation} On veut mettre ceci sous la forme $a(t) = A \cosh {\sqrt{\beta}(t-T)}$. On utilise pour cela la relation $\cosh (x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y)$. On a alors : \begin{equation} A \cosh {\sqrt{\beta}t} \cosh {\sqrt{\beta}T} - A \sinh {\sqrt{\beta}t} \sinh {\sqrt{\beta}T} \\ = \cosh(\sqrt{\beta} t) \pm \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}} \sinh(\sqrt{\beta} t) \end{equation} De cela on tire à la fois $A\cosh {\sqrt{\beta}T} = 1$ et $\pm A\sinh{\sqrt{\beta}T} = \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}}$. Ce qui entraine : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} T = & \mp \dfrac{1}{\sqrt{\beta}} \tanh^{-1} \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}} \\ A = & \sqrt{-\dfrac{\alpha}{\beta}} \end{matrix}\right.\end{equation} Ceci n'est donc possible que si $\alpha < 0$. Dans ce cas on a bien : \begin{equation} a(t) = -\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}} \cosh { \left [ \sqrt{\beta} t - \tanh^{-1} \sqrt{1+\dfrac{\alpha}{\beta}}\right ] } \end{equation} Dans le cas $\alpha > 0$, on peut écrire $a(t)$ sous la forme $A \sinh {\sqrt{\beta}(t-T)}$. On invoque cette fois l'égalité $\sinh (x+y) = \sinh(x)\cosh(y) + \sinh(y)\cosh(x)$. Cette fois il apparait que : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} T = & \mp \dfrac{1}{\sqrt{\beta}} \tanh^{-1} \sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{\alpha}{\beta}}} \\ A = & \sqrt{+\dfrac{\alpha}{\beta}} \end{matrix}\right.\end{equation} Enfin, si $\alpha = 0$, alors $\mu = \pm 1$, donc $a(t) = \exp{\dfrac{1}{\sqrt{\beta}}t}$
Notons que si l'énergie du vide est l'effet d'une constante cosmologique $\Lambda$ non nulle alors $\Omega_{\Lambda} = \Lambda c^2/3H_0^2$.

Facteur d'échelle d'un univers dominé par la constante cosmologique (gnuplot)
Évolution du facteur d'échelle pour un Univers dominé par la constante cosmologique (ou l'énergie du vide si $w=-1$) pour différentes valeurs de $\Omega_\Lambda$.

Univers vide

Un univers vide vérifie simplement l'équation \begin{equation} \dot{a}^2 = H_0^2 \Omega_{k} = H_0^2 \end{equation} Un tel Univers ne peut être de géométrie sphérique ! Il est hyperbolique ou plat en l'absence d'expansion. La solution est alors : \begin{equation} a(t) = \pm H_0 t + 1 \end{equation} L'âge d'un tel Univers (s'il est en expansion) ou son espérance de vie (s'il est en contraction) est alors $T = R/c = 1/H_0$. Un Univers plat et vide est statique.