Modèle standard de la cosmologie : le modèle $\Lambda$CDM

L'expérience COBE qui a accompli ses objectifs a été un grand succès, mais il y a encore beaucoup de marge pour des expériences de meilleures précisions. Par ailleurs, les récents développements, comme la découverte de l'accélération de l'Univers, et la mise au point de théories inflationnaires, suggèrent un modèle cosmologique standard appelé modèle $\Lambda$CDM. Ce modèle suppose que l'Univers est aujourd'hui exclusivement constitué (à l'exception du rayonnement du fond diffus cosmologique) de matière froide ($P=0$) et d'énergie du vide (d'équation d'état $P = -\rho$), en proportions telles que l'Univers soit plat.

Paramètre	Notation	Description
Âge de l'Univers	$t_0$	Temps écoulé depuis la singularité du Big-Bang.
Paramètre de densité baryonique	$\Omega_b h^2$	Paramètre de densité de baryons (matière ordinaire), d'équation d'état $P=0$.
Paramètre de densité de matière noire	$\Omega_{dm} h^2$	Paramètre de densité de la matière noire, d'équation d'état $P=0$.
Amplitude des fluctuations primordiales de courbure	$\Delta R^2$	Amplitude des fluctutions primordiales de la courbure scalaire.
Indice spectral scalaire	$n_s$	Les fluctuations primordiales de densité sont définies comme $\delta(x) = (\rho(x)-\bar{\rho})/\bar{\rho}$. Les modèles d'inflation prédisent que leur composantes de fourier vérifient :\begin{equation}\langle \delta_k \delta_{k'} \rangle \propto \dfrac{2\pi}{k^3} \delta(k-k') \left(\dfrac{k}{k_0}\right)^{n_s - 1}\end{equation} Un indice $n_s$ égal à 1 signifie que les fluctuations ont un spectre identique à toute échelle ("scale invariance").
Épaisseur optique à la réionisation.	$\tau$	L'épaisseur optique fait référence au taux d'absorption des photons du CMB entre leur émission et un instant donné au cours de l'expansion. Ce taux d'absorption augmente avec la distance parcourue par les photons du fond diffus cosmologique et donc avec le temps. La valeur de l'épaisseur optique de réionisation renseigne donc sur l'instant où celle-ci est survenue. Ce paramètre affecte naturellement l'aspect du CMB, et est laissé libre dans le modèle.

Des expériences plus précises que COBE sont capables de comparer les données d'observations du fond diffus cosmologique et de les comparer aux résultats attendu pour un jeu de ces paramètres. Cela permet de les mesurer via ces observations, et bien sûr de vérifier la validité du modèle $\Lambda$CDM. C'est l'objectif de la mission WMAP.

L'expérience WMAP

En 2001, le satellite WMAP, pour une mission organisée par la NASA, (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) est lancé et mis sur obite au point de Lagrange L2, à environ 1,5 million de kilomètres de la Terre. Ce satellite utilise des radiomètres différentiels pour mesurer les différences d'intensité du flux électromagnétique entre deux directions angulaires sur 5 bandes de fréquences comprises entre 22 et 90 GHz. Ceux-ci réalisent des mesures dans deux directions de polarisation différentes. Le diamètre des réflecteurs employés est d'environ 1,5 m. L'appareil est capable de mesurer des différences de température à une précision de 20 $\mu K$ et avec une résolution angulaire comprise entre 0,2$^{\circ}$ et 1$^{\circ}$ selon la longueur d'onde observée. La prise de données dure 9 ans, jusqu'en 2010, et fournit les cartes de température du fond diffus cosmologique les plus précises alors. Une description très complète de l'expérience est disponible à l'adresse http://map.gsfc.nasa.gov/mission/.

La carte finale est représentée sur la figure suivante

L'accord entre modèle et observation est plus que satisfaisant. Les mesures des paramètres cosmologiques fournies par WMAP sont par ailleurs les plus précises à ce jour. Les hypothèses de départ sont très bien vérifiées. En particulier, la platitude de l'Univers est confirmée à 0,4 % près (15 % avant WMAP!).

L'expérience Planck

L'expérience Planck, organisée par l'agence spatiale européenne, vise à confirmer les résultats de WMAP et améliorer encore leur précision. Lancé en 2009 à Kourou, le satellite Planck a collecté des données jusqu'en 2013, avec une extrême précision. Il est constitué de deux appareils de mesures principaux, le premier étant le Low Frequency Instrument mesurant l'intensité électromagnétique à des fréquences similaires à celles détectées par COBE et WMAP (30, 44 et 70 GHz) et un instrument haute fréquence (6 fréquences entre 100 et 857 GHz). Pour atteindre le degré de précision requis, certains appareils sont refroidis à une température de 0,1 K. La précision angulaire est comprise entre 0,1$^{\circ}$ et 0.5$^{\circ}$ selon la fréquence d'observation.

La mission est un grand succès et les résultats sont les plus précis à ce jour. Ils exploitent toute l'information cosmologique contenue dans le spectre de puissance du fond diffus cosmologique disponible à 'bas' multipôles (erreur systématique inférieure à la variance cosmique).

La constante cosmologique notée $\Lambda$ est un paramètre introduit par Einstein dans son équation afin qu'elle autorise un Univers fait de matière non relativiste à demeurer statique. L'équation d'Einstein en présence de cette constante devient : \begin{equation} R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2} Rg^{\mu\nu} - \Lambda g^{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T^{\mu\nu} \end{equation}

On peut interpréter la constante cosmologique comme une forme particulière d'énergie (souvent appelée "énergie du vide") vérifiant l'équation d'état $P_v = -\rho_v$. En effet, en écrivant $\tilde{T}^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + T_{vide}^{\mu\nu}$ où $T_{vide}^{\mu\nu} = \dfrac{\Lambda c^4}{8\pi G} g^{\mu\nu}$ on a : \begin{equation} R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2} Rg^{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} \tilde{T}^{\mu\nu} \end{equation} Et dans ce cas le tenseur $T_{vide}^{\mu\nu}$ est le tenseur énergie impulsion d'un fluide parfait tel que $P_v = -\rho_v = -\dfrac{\Lambda c^4}{8\pi G}$

Effet sur l'Univers

Les équations de Friedmann montrent que l'introduction d'une constante cosmologique implique une force de répulsion (si $\Lambda > 0$) ou d'attraction (si $\Lambda < 0$ ) qui est proportionnelle au facteur d'échelle. Par conséquent, dans un Univers en expansion, l'effet de la constante cosmologique finit par dominer.

Formes possibles d'énergie du vide :

Champ scalaire classique

Il existe plusieurs façons d'introduire une énergie du vide. Une d'entre-elles est de faire intervenir un champ scalaire $\phi \mapsto V(\phi)$ de lagrangien $\mathcal{L} = \dfrac{1}{2} (\partial_\mu \phi ) (\partial^\mu \phi) - V(\phi)$. Dès lors le tenseur énergie-impulsion associé à ce champ a pour expression : \begin{equation} T^{\mu\nu} = \dfrac{\delta \mathcal{L}}{\delta (\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \mathcal{L} \\ = (\partial^\mu \phi) (\partial^\nu \phi) -\dfrac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \left ( (\partial^\alpha \phi) (\partial^\alpha \phi) - 2 V(\phi) \right ) \end{equation} Si le champ $\phi$ est homogène, ses dérivées spatiales sont nulles et $T^{\mu\nu}$ est diagonal. La composante temporo-temporelle vaut donc $T^{00} = \dfrac{1}{2c^2}\dot{\phi}^2 + V(\phi)$ et les composantes spatiales $T^{ii} = \dfrac{1}{2c^2}\dot{\phi}^2 - V(\phi)$. L'équation d'état du champ prend alors la forme : \begin{equation} w = \dfrac{P}{\rho} = \dfrac{\dfrac{1}{2c^2}\dot{\phi}^2 - V(\phi)}{\dfrac{1}{2c^2}\dot{\phi}^2 + V(\phi)} \end{equation} Dans le cas où le champ varie très lentement (énergie cinétique du champ nulle), alors $w=-1$ et son énergie se comporte bien comme une constante cosmologique. Plusieurs types de champ peuvent être envisagés, comme un champ d'ordre 4 de forme $V(\phi) = \dfrac{1}{2}m^2\phi^2 + \dfrac{\lambda}{4!}\phi^4$ (qui peut être un champ de Higgs par exemple). Le système des équations de Friedmann peut alors être résolu en y intégrant l'équation d'euler-lagrange associée à ce champ scalaire homogène : \begin{equation} \partial_\mu \partial^\mu \phi + V'(\phi) = 0 \mbox{ donc } \ \ddot{\phi} + 3 H \dot{\phi} + c^2 V'(\phi) = 0 \end{equation}

Création de matière

La particularité de la constante cosmologique est d'être équivalente à une densité d'énergie constante malgré l'expansion de l'Univers. Une explication possible suggérée par le physicien Hoyle est alors que l'énergie du vide est en fait simplement l'énergie de masse de la matière de l'Univers, et que de la matière est créée en permanence de sorte à ce que cela maintienne la densité constante avec l'expansion. Ce modèle d'Univers est appelé "théorie de l'état stationnaire" ("Steady-state universe" en anglais).

Le problème de la constante cosmologique

Pour un champ associé à une particule de masse $m$ obéissant à l'équation de Klein Gordon (cas particulier du champ scalaire ci-dessus pour $V(\phi) = \dfrac{1}{2}m^2 \phi^2$), l'énergie de point zéro, c'est-à-dire l'énergie de l'état de plus basse énergie de son champ (sans particule) est ($\hbar = c = 1$) : \begin{equation} E_{vacuum} = \dfrac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int d^3 x\int \dfrac{1}{2} \hbar \omega_{\vec{p}} d^3 p = 4\pi \dfrac{Vc}{(2\pi \hbar)^3} \int p^3 \sqrt{1+\dfrac{m^2c^2}{p^2}} dp \end{equation} De là : \begin{equation} \rho_{vacuum} = \dfrac{E_{vacuum}}{V} \propto \int p^3 \sqrt{1+\dfrac{m^2c^2}{p^2}} dp \end{equation} Cette intégrale est divergente. Cependant, on s'attend à ce la théorie ne décrive pas les hautes-énergies, et on effectue en général une coupure (cut-off) au-delà d'un certain seuil d'énergie $\Lambda_{cut-off}$. On a alors, en ordre de grandeur : \begin{equation} \rho_{vacuum} \sim \Lambda_{cut-off}^4 \end{equation} Le modèle standard de la physique des particules étant bien vérifié jusqu'au TeV, on doit avoir $\Lambda_{cut-off} > 10^{12}$ eV, soit $\rho_{vacuum} \sim 10^{48} \textrm{ eV}^4$. Il existe de nombreuses contributions à l'énergie du vide selon le modèle standard, mais l'ordre de grandeur de la plupart d'entre elles devrait être celle obtenue par ce calcul simple (Svend Erik Rugh, Henrik Zinkernagel  2000) (Antonio Padilla  2015) .

Par ailleurs, les observations cosmologiques donnent $\rho_{\Lambda} \simeq 10^{-16} \textrm{ eV}^4$. On a alors : \begin{equation} \rho_{vacuum} \sim 10^{64} \rho_{\Lambda} \end{equation} Soit une différence de 64 ordres de grandeur ! Clairement, quelque chose ne va pas. Le problème s'aggrave si le cut-off est augmenté, par exemple à l'échelle de Planck ($10^{28}$ eV). Dans ce cas, $\rho_{vacuum} \sim 10^{128} \rho_{\Lambda}$ ! C'est le problème de la constante cosmologique.