Après la découverte de l'expansion de l'Univers par Hubble, Einstein, qui était jusqu'alors sceptique au sujet des travaux de Friedmann et Lemaître sur des modèles cosmologiques non statiques, comprend leur valeur. Ainsi, au début des années 1930, il aide à répandre ces idées parmi les physiciens. En 1932, lui-même et De Sitter proposent un modèle cosmologique minimal (  1932) , auquel on réfère aujourd'hui par le nom d'espace d'Einstein-de Sitter, conforme aux observations de l'époque :

• Géométrie plate
• Uniquement constitué de matière non-relativiste, de pression nulle (pas de rayonnement)
• Sans constante cosmologique

Il s'agit donc d'un Univers de Lemaître-Friedmann à constante cosmologique nulle. Ce modèle permet de déduire la densité de matière dans l'Univers directement à partir de la constante de Hubble $H_0$. On trouve ainsi avec les données de l'époque une densité de $10^{-25} \mbox{ kg.m}^{-3}$. Or il se trouve qu'il s'agit de l'ordre de grandeur de la densité telle qu'évaluée à partir des estimations de distances et masses des galaxies. Un élément majeur de ce modèle est qu'il implique l'apparition d'une singularité initiale : l'Univers semble naitre d'un état de densité infinie (facteur d'échelle nul), et ce il y a un peu plus d'un milliard d'années. Lemaître qui avait déjà remarqué ce fait suggère en 1931 une explication. Il propose que l'Univers soit né de la désintégration d'un "atome" (G. LEMAÎTRE  1931) , un état lié de la matière qui en se pulvérisant aurait engendré l'expansion. Il considère que ceci donne une explication aux rayons cosmiques et que la présence d'autres particules parmi ce rayonnement (alors non prouvée) en accréditerait la vraisemblance. Ainsi, pour Lemaître, cette singularité est tout à fait physique.

En 1948, F. Hoyle pointe quelques problèmes qui suggèrent le besoin de formuler une autre théorie pour l'Univers :

• Problème de l'Âge de l'Univers : puisque le modèle d'Einstein-de Sitter implique que l'Univers soit né d'une singularité il entraine que celui-ci a un certain âge et que ses structures doivent être plus jeunes : dans ce cadre, et d'après la constante d'Hubble mesurée à l'époque, cet âge doit être d'un peu plus d'1 milliard d'années. Cependant, l'âge de la Terre était estimé à l'époque entre 1.5 et 3 milliards d'années (par des techniques radiométriques).
• Problème de la formation des galaxies : selon Hoyle, les galaxies n'ont pu se former que lorsque l'expansion est devenue suffisamment lente pour que l'attraction gravitationnelle l'emporte localement, ce qui est inconsistent avec leur âge tel qu'estimé

Hoyle, à la suite de réflexions sur ce sujet avec les physiciens Gold et Bondi, propose alors un modèle d'univers appelé "théorie de l'état stationnaire" (F. Hoyle  1948) visant à résoudre ces problèmes. Dans sa théorie, il fait l'hypothèse que de la matière est créée continuument et de façon homogène - par exemple, sous forme d'atomes d'hydrogène - de sorte à ce que malgré l'expansion la densité d'énergie demeure constante. L'univers étant alors toujours de même densité, il est toujours semblable et n'a plus d'âge.

En 1950 on peut donc considérer qu'il existe deux classes de théories principales :

• Les univers d'Einstein-de Sitter et Friedmann-Lemaître, avec singularité initiale et âge fini.
• L'Univers stationnaire de Hoyle

Hoyle critiquera également la théorie de Lemaître de l'atome primitif et l'idée d'un état initial très dense de l'Univers en général par des arguments notamment philosophiques : il apparente la théorie de Lemaître - qui est par ailleurs prêtre - à la Création biblique. Il fera référence à ce modèle qu'il conteste sous le nom de "Big Bang". C'est le premier emploi de cette dénomination dans la cosmologie. Les observations disponibles à l'époque ne permettant pas d'éliminer l'une de ces théories, et le débat prend une tournure philosophique.

La constante cosmologique notée $\Lambda$ est un paramètre introduit par Einstein dans son équation afin qu'elle autorise un Univers fait de matière non relativiste à demeurer statique. L'équation d'Einstein en présence de cette constante devient : \begin{equation} R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2} Rg^{\mu\nu} - \Lambda g^{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T^{\mu\nu} \end{equation}

On peut interpréter la constante cosmologique comme une forme particulière d'énergie (souvent appelée "énergie du vide") vérifiant l'équation d'état $P_v = -\rho_v$. En effet, en écrivant $\tilde{T}^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + T_{vide}^{\mu\nu}$ où $T_{vide}^{\mu\nu} = \dfrac{\Lambda c^4}{8\pi G} g^{\mu\nu}$ on a : \begin{equation} R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2} Rg^{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} \tilde{T}^{\mu\nu} \end{equation} Et dans ce cas le tenseur $T_{vide}^{\mu\nu}$ est le tenseur énergie impulsion d'un fluide parfait tel que $P_v = -\rho_v = -\dfrac{\Lambda c^4}{8\pi G}$

Effet sur l'Univers

Les équations de Friedmann montrent que l'introduction d'une constante cosmologique implique une force de répulsion (si $\Lambda > 0$) ou d'attraction (si $\Lambda < 0$ ) qui est proportionnelle au facteur d'échelle. Par conséquent, dans un Univers en expansion, l'effet de la constante cosmologique finit par dominer.

Formes possibles d'énergie du vide :

Champ scalaire classique

Il existe plusieurs façons d'introduire une énergie du vide. Une d'entre-elles est de faire intervenir un champ scalaire $\phi \mapsto V(\phi)$ de lagrangien $\mathcal{L} = \dfrac{1}{2} (\partial_\mu \phi ) (\partial^\mu \phi) - V(\phi)$. Dès lors le tenseur énergie-impulsion associé à ce champ a pour expression : \begin{equation} T^{\mu\nu} = \dfrac{\delta \mathcal{L}}{\delta (\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \mathcal{L} \\ = (\partial^\mu \phi) (\partial^\nu \phi) -\dfrac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \left ( (\partial^\alpha \phi) (\partial^\alpha \phi) - 2 V(\phi) \right ) \end{equation} Si le champ $\phi$ est homogène, ses dérivées spatiales sont nulles et $T^{\mu\nu}$ est diagonal. La composante temporo-temporelle vaut donc $T^{00} = \dfrac{1}{2c^2}\dot{\phi}^2 + V(\phi)$ et les composantes spatiales $T^{ii} = \dfrac{1}{2c^2}\dot{\phi}^2 - V(\phi)$. L'équation d'état du champ prend alors la forme : \begin{equation} w = \dfrac{P}{\rho} = \dfrac{\dfrac{1}{2c^2}\dot{\phi}^2 - V(\phi)}{\dfrac{1}{2c^2}\dot{\phi}^2 + V(\phi)} \end{equation} Dans le cas où le champ varie très lentement (énergie cinétique du champ nulle), alors $w=-1$ et son énergie se comporte bien comme une constante cosmologique. Plusieurs types de champ peuvent être envisagés, comme un champ d'ordre 4 de forme $V(\phi) = \dfrac{1}{2}m^2\phi^2 + \dfrac{\lambda}{4!}\phi^4$ (qui peut être un champ de Higgs par exemple). Le système des équations de Friedmann peut alors être résolu en y intégrant l'équation d'euler-lagrange associée à ce champ scalaire homogène : \begin{equation} \partial_\mu \partial^\mu \phi + V'(\phi) = 0 \mbox{ donc } \ \ddot{\phi} + 3 H \dot{\phi} + c^2 V'(\phi) = 0 \end{equation}

Création de matière

La particularité de la constante cosmologique est d'être équivalente à une densité d'énergie constante malgré l'expansion de l'Univers. Une explication possible suggérée par le physicien Hoyle est alors que l'énergie du vide est en fait simplement l'énergie de masse de la matière de l'Univers, et que de la matière est créée en permanence de sorte à ce que cela maintienne la densité constante avec l'expansion. Ce modèle d'Univers est appelé "théorie de l'état stationnaire" ("Steady-state universe" en anglais).

Le problème de la constante cosmologique

Pour un champ associé à une particule de masse $m$ obéissant à l'équation de Klein Gordon (cas particulier du champ scalaire ci-dessus pour $V(\phi) = \dfrac{1}{2}m^2 \phi^2$), l'énergie de point zéro, c'est-à-dire l'énergie de l'état de plus basse énergie de son champ (sans particule) est ($\hbar = c = 1$) : \begin{equation} E_{vacuum} = \dfrac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int d^3 x\int \dfrac{1}{2} \hbar \omega_{\vec{p}} d^3 p = 4\pi \dfrac{Vc}{(2\pi \hbar)^3} \int p^3 \sqrt{1+\dfrac{m^2c^2}{p^2}} dp \end{equation} De là : \begin{equation} \rho_{vacuum} = \dfrac{E_{vacuum}}{V} \propto \int p^3 \sqrt{1+\dfrac{m^2c^2}{p^2}} dp \end{equation} Cette intégrale est divergente. Cependant, on s'attend à ce la théorie ne décrive pas les hautes-énergies, et on effectue en général une coupure (cut-off) au-delà d'un certain seuil d'énergie $\Lambda_{cut-off}$. On a alors, en ordre de grandeur : \begin{equation} \rho_{vacuum} \sim \Lambda_{cut-off}^4 \end{equation} Le modèle standard de la physique des particules étant bien vérifié jusqu'au TeV, on doit avoir $\Lambda_{cut-off} > 10^{12}$ eV, soit $\rho_{vacuum} \sim 10^{48} \textrm{ eV}^4$. Il existe de nombreuses contributions à l'énergie du vide selon le modèle standard, mais l'ordre de grandeur de la plupart d'entre elles devrait être celle obtenue par ce calcul simple (Svend Erik Rugh, Henrik Zinkernagel  2000) (Antonio Padilla  2015) .

Par ailleurs, les observations cosmologiques donnent $\rho_{\Lambda} \simeq 10^{-16} \textrm{ eV}^4$. On a alors : \begin{equation} \rho_{vacuum} \sim 10^{64} \rho_{\Lambda} \end{equation} Soit une différence de 64 ordres de grandeur ! Clairement, quelque chose ne va pas. Le problème s'aggrave si le cut-off est augmenté, par exemple à l'échelle de Planck ($10^{28}$ eV). Dans ce cas, $\rho_{vacuum} \sim 10^{128} \rho_{\Lambda}$ ! C'est le problème de la constante cosmologique.