Prédiction et caractéristiques

Les ondes gravitationnelles sont une prédiction établie par Einstein en 1916 en tant que conséquence de la relativité générale. Ce sont une solution particulière des équations d'Einstein qui se traduisent par la propagation à la vitesse de la lumière d'une perturbation de l'espace-temps, sous la forme d'une onde transverse d'amplitude généralement notée $h$. Un objet de longueur au repos $L$ voit ainsi varier sa longueur de $\pm hL$.

Une distribution de masse accélérée dissymétrique émet des ondes gravitationnelles : c'est le cas par exemple de systèmes binaires d'étoiles ou de trous noirs, d'étoiles à neutrons oscillantes, ou encore de supernovae. Émises par ces ondes distances, ces sources se propagent jusqu'à la Terre, leur amplitude décroissant en $1/r$. Pour un système binaire de deux masses $M$ séparées d'une distance $a$ et situées à une distance $r$ de la Terre, l'ordre de grandeur de l'amplitude de la perturbation $h$ est donné par (B. F. Schutz  1997) : \begin{equation} h \sim \frac{G^2}{c^4}\dfrac{M^2}{ar} \end{equation} Si $M \sim 10 M_{\odot}$ et $a$ est de l'ordre de 10 fois le rayon de Schwarzschild associé à $M$, et que le système est distant de 100 Mpc de la Terre, alors : \begin{equation} h \sim 10^{-54} \times \dfrac{10^{62}}{10^{5} \times 10^{24}} \sim 10^{-21} \end{equation} Le facteur $1/r$ est la décroissance de l'amplitude avec la distance. Le préfacteur $G^2/c^4$ vaut environ $10^{-54} \textrm{kg}^{-2}.\textrm{m}^{2}$. La faiblesse de sa valeur numérique explique la petitesse de $h$. L'onde émise par ce système traversant la terre ne déforme un objet d'un mètre que d'une longueur de $10^{-21}$ m ! Une des conséquences de cette émission d'ondes gravitationnelles est qu'un système binaire de cette sorte perd de l'énergie. Ainsi, deux étoiles en orbite l'une autour de l'autre de demi-grand axe $a$ suffisamment faible (avec une rotation rapide selon la loi de Kepler $T^2 \propto a^3$ et donc fortement accélérées) tendront à se rapprocher jusqu'à fusionner puisqu'en perdant de l'énergie les masses se rapprochent ($a \propto -1/E$). L'onde gravitationnelle émise est essentiellement de fréquence $f_{OG} \sim 2 f_{rot} \sim \dfrac{(GM)^{1/2}}{2\pi a^{3/2}}$. En utilisant les valeurs précédentes, on obtient $f_{OG} \sim $ 1000 Hz.

Première observation indirecte

En 1974, Russel Hulse et Joseph Taylor découvrent le pulsar binaire "PSR B1913+16" (R. A. Hulse, J. H. Taylor  1975) composé a priori d'une étoile à neutron émettant dans notre direction avec une période de rotation 59 millisecondes et d'un compagnon compact, a priori une autre étoile à neutron. Ils mesurent entre autres le demi-grand axe du système ($2\times 10^{6}$ km) et sa période orbitale (27 900 s environ). En 1975 Robert Wagoner suggère que puisque d'après la relativité générale un tel système perd une quantité significative d'énergie par émission d'ondes gravitationnelles, alors son demi-grand axe doit diminuer et sa période orbitale aussi dans des proportions mesurables (R. V. Wagoner  1975) . Ce système permettrait donc de tester la réalité des ondes gravitationnelles. En 1979, Joseph Taylor donne les résultats de cette mesure de $\dot{T}$ (le taux de diminution de la période) et trouve $\dot{T}^{obs}/\dot{T}^{th} = 1,3 \pm 0,3$ (J. H. Taylor, L. A. Fowler et al.  1979) (Thibault Damour  2015) , confirmant ainsi de façon assez convaincante l'existence des ondes gravitationnelles.

Depuis, les données ont été accumulées et ont permis de contrôler l'écart entre la prédiction de la relativité générale et l'observation à moins de 0,2 $\%$.

En 1993, R. Hulse et J. Taylor ont reçu le prix Nobel pour leur découverte de ce pulsar qui a permis de tester précisément la relativité générale.

Les détecteurs interférométriques LIGO et VIRGO

Au début des années 1970, Rainer Weiss travaille au MIT sur la possibilité de détecter des ondes gravitationnelles à l'aide d'un interféromètre de type michelson éclairé par un laser, en étudiant les différentes sources de bruit potentielles. Un tel détecteur repose sur le principe suivant : lors du passage d'une onde gravitationnelle, la métrique est perturbée différemment dans des directions perpendiculaires. En entrant dans un interféromètre de Michelson, celle-ci affecte donc la longueur $L$ de ses deux bras perpendiculaires. La différence de longueur induite $\delta L$ modifie la figure d'interférences en sortie de l'interféromètre, rendant détectable le passage de l'onde. Pour une configuration optimale^[?], la variation de longueur est de : \begin{equation} \delta L = \dfrac{1}{2} h L \end{equation} Comme on l'a vu, $h$ est très petit, ce qui rend cette variation très difficile à mesurer. L'objectif est donc d'obtenir des bras aussi longs que possible.

Parallèlement, à Caltech, Kip Thorne et son équipe travaillent sur les sources astrophysiques d'ondes gravitationnelles et le potentiel de détection par une expérience du type de celle envisagée par Weiss. Deux projets expérimentaux sont alors lancés, celui du MIT mené par Weiss, celui de Caltech mené par Ronald Drever et Stan Whitcomb. Des prototypes de petite taille sont conçus et la faisabilité d'un détecteur de plusieurs kilomètres est envisagée. En 1984 Caltech et le MIT unissent leurs efforts et conçoivent le projet LIGO de détecteur interférométrique avec des bras de plusieurs kilomètres de long.

Le projet LIGO est validé au début des années 1990 et 3 détecteurs sont construits, deux dans la même enceinte à Hanford, Washington, et pourvus de bras de 4 et 2 km ("H1" et "H2"), et un a Livingstone, Louisiane ("L1", avec des bras de 4 km). La construction prend fin en 2002. Des prises de données sont effectuées jusqu'en 2010, sans détection confirmée. Le projet aLIGO (advanced LIGO) validé au début des années 2000 est alors implémenté entre 2010 et 2014. En 2015, la sensibilité des détecteurs a été largement améliorée, et les prises de données recommencent. Le 14 septembre 2015, les détecteurs LIGO observent simultanément une onde gravitationnelle émise par la coalescence de deux trous noirs à une distance 400 Mpc, réalisant ainsi la première détection directe d'une telle onde (B. P. Abbott, R. Abbott et al.  2016) . L'événement est baptisé GW150914. Cette découverte sera récompensée par l'attribution du prix Nobel de Physique 2017 à Barry Barish, Kip Thorne et Rainer Weiss. À ce jour (3 octobre 2017), LIGO a observé quatre trains d'ondes gravitationnelles, à chaque fois provenant de systèmes binaires de trous noirs en rotation.

Parallèlement au développement de LIGO aux États-Unis, le projet d'un interféromètre européen est lancé au milieu des années 1990 par le CNRS et l'INFN. Construit non loin de Pise, des prises de données ont été effectuées entre 2007 et 2011, sans qu'un événément ne sont détecté. Un projet d'amélioration visant à augmenter la sensibilité de l'expérience est alors entrepris (Advanced Virgo) avec pour objectif de nouvelles prises de données dès fin 2016. Le fonctionnement concurrentiel de plusieurs détecteurs permet de mieux reconstruire la direction de la source par triangulation, et donc de chercher la présence de signaux complémentaires (lumière, neutrinos) dans cette direction. Le 14 août 2017, Virgo réalise sa première détection cojointe avec LIGO ( The LIGO Scientific Collaboration, the Virgo Collaboration et al.  2017) . Les données de Virgo ont permis, pour cet événement, de réduire la zone de confiance à 90 % de la position dans le ciel de la source de 1160 $\textrm{deg}^2$ à 60 $\textrm{deg}^2$.

Le 17 août 2017, LIGO et Virgon détectent, pour la première fois, la phase finale de la fusion de deux étoiles à neutrons (B. P. Abbott, R. Abbott et al.  2017) (B. P. Abbott, R. Abbott et al.  2017) . Plusieurs instruments ont détecté incidemment un sursaut gamma (GRB 170817A) ayant survenu 1,7 s après l'instant de fusion mesuré par LIGO-Virgo. Cette découverte marque une nouvelle ère dans l'astronomie multi-messagers : dans ce cas, l'observation conjointe des ondes gravitationnelles et de la lumière émise par la source a permis, entre autre, l'identification de la galaxie hôte (NGC 4993) dont le redshift $z$ est connu avec une bonne précision. Or, l'objet étant relativement proche (par rapport à la taille de l'Univers), la relation de Hubble s'applique et $z = H_0 d / c$. Par ailleurs, LIGO donne une mesure indépendante de $d$, et cela permet donc d'en déduire une estimation de la constante de Hubble évaluée à $H_0 = 70.0\substack{+12.0 \\ -8.0}$ (B. P. Abbott, R. Abbott et al.  2017) . C'est la première application cosmologique concrète effectuée grâce aux ondes gravitationnelles.

Limitations et prochaines générations de détecteurs

Sources de bruit

La sensibilité des détecteurs actuels est limitée à basse fréquence ($\sim$ Hz) par le bruit sismique et à haute fréquence (kHz) par le bruit d'origine quantique, qui est la somme du bruit de grenaille (shot noise) et du bruit du aux fluctuations de pression de radiation des photons. Ils dépendent de la pression $P$ du Laser, de la longueur $L$ des bras et de la masse $M$ des miroirs de la façon suivante : \begin{equation} \tilde{h}_{grenaille} = \dfrac{1}{4\pi L} \sqrt{\dfrac{2h\lambda c}{\eta P}} \mbox{ et } \tilde{h}_{pression} = \dfrac{1}{ML}\sqrt{\dfrac{hP}{2\pi^4 c\lambda}} \dfrac{1}{f^2} \end{equation} Varier la puissance d'un laser permet d'effectuer un trade-off entre bruit de grenaille et bruit de recul, et éventuellement d'optimiser la sensibilité pour certaines fréquences, mais pas plus. En revanche, le bruit quantique étant inversement proportionnel à $L$, il peut être supprimé à l'aide de plus longs bras.

Futurs détecteurs

Pour dépasser ces limitations, les futurs détecteurs se répartiront en deux catégories :

• Les détecteurs dans l'espace, qui s'affranchiront ainsi du bruit sismique et seront sensibles à des ondes gravitationnelles de basse fréquence. C'est notamment le cas de LISA, dont les trois détecteurs seront distants de 2,5 millions de km et seront sensibles à des fréquences entre $10^{-4}$ et $10^{-1}$ Hz. D'autres expériences sont à l'étude, comme BBO (Big Bang Observer) et DECIGO (DECi-hertz Interferometer Gravitational wave Observatory) avec des bras de 10 000 à 50 000 km et 1 000 km de long respectivement. En effet, la sensibilité de LISA à certaines sources risque serait limitée par du bruit de confusion (c'est-à-dire la superposition de signaux impossible à résoudre individuellement) dans la zone des très basses fréquences (Leor Barack, Curt Cutler  2004) . Cette limite « fondamentale » suggère d'explorer des intervalles de fréquences plus élevées, intermédiaires entre celui de LISA et ceux des détecteurs terrestres actuels ou futurs. Ces détecteurs ne pouvant résoudre des ondes de longueur d'onde bien plus courte que leurs bras, ceux-ci sont nécessairement plus courts.
• Les détecteurs terrestres de troisièmes génération qui s'affranchiront du bruit quantique au moyen de bras plus longs, tels que le Einstein Telescope (10 km) ou le Cosmic Explorer (40 km). Ils pourront aussi être placés plus en profondeur pour contrôler le bruit sismique. L'Einstein Telescope diffère des détecteurs terrestres actuels par sa géométrie triangulaire.

Perspectives

Sources potentielles

De façon générale, la détection d'ondes gravitationnelles offre une fenêtre d'observation indépendante du canal électromagnétique habituel et permet d'accéder à une grande variété de phénomènes. Plusieurs recherches sont ainsi effectuées par LIGO :

• Coalescence d'objets compacts : Recherche de fusions de systèmes binaires d'objects compacts (trou-noir/trou-noir, étoile à neutron/trou-noir, étoile à neutron/étoile à neutron). Ceci permet de mesurer leurs masses initiale, la masse de l'objet final, leur distance de luminosité et redshift.
• Supernovae à effondrement de coeur : Recherche d'ondes gravitationnelles en coincidence avec des supernovae à effondrement de coeur, afin de mieux comprendre les mécanismes en jeu. La signature gravitationnelle de ces événements est mal comprise et difficile à modéliser, et ces observations seraient très précieuses. On considère que les détecteurs actuels ne sont capables de détecter ces supernovae que dans la Voie Lactée et les nuages de Magellan, où elles surviennent à un taux de l'ordre d'une fois par siècle. Seules les prochaines générations de détecteurs ont donc des chances réalistes d'effectuer de telles détections.
• Fond stochastique : Recherche d'un fond stochastique d'origine cosmologique, tel que motivé par certaines théories comme la théorie des cordes (Xavier Siemens, Vuk Mandic et al.  2007) .

Cosmologie

La détection de sources transitoires comme les coalescences d'objets compacts permet d'accéder à leur distance de luminosité. Les futures générations de détecteurs devraient permettre non seulement d'observer ces événements à des échecs cosmologiques ($z>1$), comme des coalescences de systèmes d'étoiles à neutrons y compris pendant la réionisation ($z \sim 6$), mais aussi la totalité des coalescences de trous noirs tels que $M \gtrsim 30 M_{\odot}$ dans l'univers observable (attendus jusqu'à $z \sim 10$) (B. P. Abbott, R. Abbott et al.  2016) . En principe, pour des événements de ce type, le redshift n'est pas mesurable facilement ou directement, à cause de ce qu'on appelle la dégénérescence masse-redshift. La conséquence de celle-ci est qu'on ne peut extraire que $M(1+z)$ à partir de la forme du signal (où $M$ est la masse au repos). Il existe cependant des méthodes imprécises (erreur de 10-20$\%$ sur $z$) pour remonter au redshift dans certains cas (C. Messenger, Kentaro Takami et al.  2014) . Heureusement, des signaux électromagnétiques détéctables peuvent être associés avec ces événements comme ce fut observé pour la première fois avec GW170817, permettant ainsi une mesure indépendante et précise de $z$. Il est donc en théorie possible de vérifier par cette méthode indépendante les résultats obtenus à partir des supernovae thermonucléaires en tant que chandelles standards via la relation $z \mapsto d_L(z)$.

En principe, les détecteurs sont capables de détecter un fond stochastique si un excès significatif de densité d'énergie est observé dans une certaine plage de fréquence. Comme les photons libérés au découplage vers $T \sim $ 3000 K, des ondes gravitationnelles produite dans les premiers instants de l'Univers ont pu être libérées par un découplage qu'on peut estimer avoir survenu à une température inférieur à la température de Planck ($10^{19}$ GeV). Elles pourraient donc contenir de la l'information sur la physique à très haute énergie. Les détecteurs seraient capables de mesurer un paramètre de densité $\Omega_{GW}(f)$ défini à partir de la densité d'énergie d'ondes gravitationnelles selon : \begin{equation} \Omega_{GW}(f) = \dfrac{1}{\rho_c} \dfrac{d\rho_{Gw}}{d\log f} \end{equation} Par exemple, les modèles d'inflation les plus simples prédisent un fond stochastique... (TODO)

Le fond diffus cosmologique (ou "cosmic microwave background", souvent abbrégé CMB) est un rayonnement de type corps noir (sous forme de photons) globalement homogène et isotrope, qui s'est découplé^[?] de la matière environ 380 000 ans après le big bang. Depuis, avec l'expansion de l'Univers, celui-ci a refroidi pour atteindre sa température actuelle de 2,7 K. Ce rayonnement a été observé pour la première fois dans les micro-ondes, d'où son appellation anglophone. Il prend son origine dans l'état chaud de l'Univers, et a été libéré lorsque la densité de protons et électrons est devenue suffisamment faible avec le refroidissement pour que les photons interagissent peu avec la matière et voyagent librement. Cette transition est appelée "découplage" et est survenue à $z = 1100$ environ.

Le CMB est décrit comme la plus ancienne image de l'Univers. En effet, les photons émis avant le découplage interagissaient très rapidement avec les particules chargées du milieu (électrons, protons), et leur libre parcours moyen était donc très faible. Après le découplage, les interactions deviennent rares et le libre parcours moyen deviant supérieur à la taille de l'Univers. Les photons peuvent ainsi voyager librement, et le rayonnement de fond observé aujourd'hui correspond assez fidèlement à l'image des photons émis alors.

Premières observations et prédictions

Avant les travaux de Alpher, Gamow et Herman à la fin des années 1940, on pense que le rayonnement dans l'Univers est essentiellement d'origine stellaire (interprétation d'Eddington). La température du milieu interstellaire serait donc la température d'équilibre d'un objet dans ce milieu avec le rayonnement provenant des étoiles. Cette température vérifierait donc : \begin{equation} \sigma T_{univers}^4 = p \end{equation} Où $p$ est la puissance moyenne reçue par unité de surface d'origine stellaire en moyenne dans le milieu interstellaire (il s'agit de la puissance totale, la forme du spectre n'ayant ici pas d'importance). Celle-ci doit valoir, si la luminosité moyenne des étoiles est proche de celle du Soleil, de l'ordre de $L_{\odot}/d^2$ où $L_{\odot}$ est la puissance émise par le Soleil et $d$ la distance moyenne entre étoiles. Selon la région sur laquelle la moyenne $d$ est calculée, la valeur peut beaucoup varier - pour l'Univers observable, $d \sim $ 300 al. Mais globalement cela conduit à une valeur $T_{univers}$ de l'ordre de 0,1 K à quelques kelvins (la valeur étant bien sure plus élevée dans les zones où la densité d'étoiles est plus grande). Dans ce cas, le rayonnement possède une caractéristique particulière : son spectre est celui des étoiles qui l'émettent, c'est-à-dire entre l'IR, le visible et l'UV (soit des températures de rayonnement de quelques milliers à quelques dizaines de Kelvins).

La première observation indiquant la présence du fond diffus cosmologique fut faite en 1940 par McKellar, bien qu'elle ne fut pas comprise comme telle à l'époque. McKellar étudiait avait employé un spectrographe installé à l'Observatoire du Mont Wilson pour mesurer le spectre de plusieurs régions du ciel. Les mesures indiquent notamment la présence d'un doublet associé à des transitions rotationnelles de la molécule $CN$, aux alentours de 4000 MHz. McKellar évalue à partir de cette observation une témparature limite pour le milieu interstellaire d'environ 2,3 K, mais reconnait ne pas être capable de déterminer si cette valeur a vraiment un sens.

La première prédiction cosmologique d'un fond de rayonnement est due à Alpher et Herman. En établissant avec Gamow leur théorie de la nucléosynthèse primordiale dans un Univers en Big Bang, ceux-ci remarquèrent que l'Univers devait être très chaud et surtout dominé par le rayonnement à son orgine. Ils soulignèrent alors que ceci impliquerait la présence aujourd'hui d'un fond de rayonnement vestige de cette ère où les photons étaient très énergétiques et gouvernaient l'expansion. A partir de 1948 ils firent plusieurs estimations de la température actuelle de ce rayonnement, estimée entre quelques Kelvins et quelques dizaines de Kelvins. Cependant, leur théorie de la nucléosynthèse semblait une impasse à l'époque, et leurs travaux ne reçurent pas beaucoup d'attention. La différence majeure avec l'interprétation stellaire du fond de rayonnement est le spectre de celui-ci. Dans le cas d'un rayonnement issu des étoiles, le spectre est globalement autour du visible. Dans l'interprétation d'un rayonnement relique du Big Bang, le spectre est celui d'un corps noir à la température du fond (quelques K). Ainsi, cette température peut être mesurée en trouvant la température $T$ telle qu'un corps noir à cette température corresponde au fond diffus (attendu dans les micro-ondes). Cette valeur doit être plus homogène encore que la température d'équilibre stellaire d'Eddington puisqu'elle ne dépend pas de la position relative de l'observateur avec les étoiles.

Découverte de 1964

Voir l'article

Au cours de l'année 1964, deux astronomes américains, Arno Penzias et Robert Wilson, travaillent sur l'antenne cornet d'Holmdel pour les laboratoires Bell. L'objectif de cet antenne construite en 1959 était de détecter l'écho radar de satellites en forme de ballon agissant comme réflecteur. Les deux physiciens devaient cependant s'en servir pour observer la voie lactée à des longueurs d'ondes aux alentours de 7 cm.
Une des difficultés de cette taĉhe est que le faible niveau du signal requiert l'élimination de nombreuses sources de bruit, et notamment du bruit d'origine thermique, par exemple en refroidissant certains instruments jusqu'à 4 K (hélium liquide). Malgré toutes ces précautions, les deux phyisiciens observèrent en mesurant le signal à une longueur d'onde de 7,35cm (4080 MHz) un bruit irréductible équivalent à une température d'environ 3,5 $\pm$ 1 K, indépendant des saisons, dépendant faiblement de la direction, ce qui semblait écarter une origine galactique. (todo + atmo + récepteur).

Parallèlement, Dicke, Peebles, Roll et Wilkinson réétablissent indépendamment l'existence d'un fond de rayonnement photonique dans l'hypothèse d'un Univers né d'un Big Bang chaud. Ils entreprennent même d'établir un instrument pour mesurer cet hypothétique rayonnement. Penzias finit par avoir vent de leurs recherches, et finit par contacter Dicke par téléphone pour lui exposer leur problème. Celui-ci comprend que le bruit mesuré par Penzias et Wilson doit être ce fameux rayonnement qu'ils cherchaient à mesurer. En 1965, les deux groupes publient simultanément un papier tenant compte de leurs résultats, marquant la découverte du fond diffus cosmologique ou CMB (pour Cosmic Microwave Background).

De nouvelles mesures

La première observation du CMB considérée comme une découverte fut réalisée à une seule longueur d'onde (7,35 cm, soit 4080 MHz) avec l'antenne d'Holmdel. Il était alors possible d'en déduire la température d'un corps noir correspondant mais pas de vérifier que le spectre du rayonnement était bien celui d'un corps noir. Rapidement Penzias et Wilson réalisent une nouvelle mesure avec le même dispositif cette fois à une longueur d'onde

Anisotropies du fond diffus cosmologique

Le fond diffus cosmologique n'est, comme notre Univers, par parfaitement homogène. La carte qu'on en dresse contient donc des anisotropies. Leur mesure peut nous renseigner sur de nombreux paramètres cosmologiques classiques (contenu de l'Univers, constante de Hubble) mais aussi sur les fluctuations primordiales de densité, ces déviations initiales par rapport à l'homogénéité, qui ont donné naissance aux grandes structures de l'Univers.

A l'origine, les inhomogénéités de l'Univers prennent leur source dans ce qu'on appelle les fluctuations primordiales de densité. Ces fluctuations sont représentées par des perturbations au premier ordre de la densité, de la vitesse locale de la matière et du potentiel $\phi$ : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \rho(t, \vec{x}) & = & \bar{\rho}(t)+ \delta\rho (t,\vec{x}) \\ \vec{v}(t, \vec{x}) & = & \vec{\bar{v}}(t,\vec{x}) + \vec{\delta v}(t,\vec{x}) \\ \phi(t,\vec{x}) & = & \bar{\phi}(\vec{x}) + \delta \phi(t,\vec{x})\\ \end{matrix}\right.\end{equation} Où $\vec{x}$ sont les coordonnées comobiles. On peut en déduire une solution perturbative au premier ordre en ces variations en injectant ces définitions dans les équations qui régissent le fluide, à savoir les équations d'Euler et de poisson suivantes : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \dot{\rho} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0 \mbox{ (équation de continuité) } \\ \dot{\vec{v}} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = -\nabla (\phi + \dfrac{P}{\rho}) \mbox{ (principe fondamental de la dynamique) }\\ \nabla^2 \phi = 4\pi G \rho \mbox{ (équation de Poisson) }\\ \end{matrix}\right.\end{equation} Il apparait alors que la solution dans l'espace "fréquentiel" (après transformée de fourier spatiale $\vec{x}\to\vec{k}$ de $\delta \rho$) est : \begin{equation} \ddot{\delta\rho}(\vec{k}) + 2 H \dot{\delta\rho}(\vec{k}) + \left ( \dfrac{v_s^2 \vec{k}^2}{a^2} - 4\pi G\bar{\rho}\right ) \delta\rho(\vec{k}) = 0 \end{equation} On en déduit deux types de solutions :

• Si $k < a\sqrt{4\pi G\bar{\rho}}/v_s$, alors les solution sont une croissance sans fin des perturbations.
• Sinon, les solutions sont des oscillations amorties avec une "constante" de temps $1/H$.

Afin d'exploiter statistiquement les anistropies du CMB, on utilise leur spectre de puissance. Celui-ci provient de la décomposition de la carte de températures en harmoniques sphériques : \begin{equation} a_{lm} = \int \Theta(\theta,\phi) Y_{lm}^{*} (\theta,\phi) d^2 \Omega \end{equation} Ici, $\Theta$ est l'écart à la température moyenne dans une direction donnée : \begin{equation} \Theta(\theta,\phi) = \dfrac{T(\theta,\phi)-\bar{T}}{\bar{T}} \end{equation} D'où on tire le spectre de puissance : \begin{equation} C_l = \sum_{-l \leq m \leq l} \dfrac{|a_{lm}|^2}{2l+1} \end{equation} Le multipôle $l$ représente une échelle angulaire $\pi/l$, donc les coefficients à bas $l$ indiquent la corrélation entre des portions du ciel de grande envergure. Lorsque $l$ est petit, la somme se fait sur un nombre petit de termes, car peu de 'modes $m$' indépendants sont disponibles. Cela implique une erreur statistique de l'ordre de $\sqrt{2/(2l+1)}$ sur $C_l$, qui est indépassable par l'expérience. C'est la variance cosmique.

Spectre de puissance et paramètres du modèle standard de la cosmologie

(Max Tegmark  1995)

La mesure du spectre de puissance des anisotropies du fond diffus cosmologique permet d'en déduire les valeurs des paramètres cosmologiques du modèle standard. Cette section montre comment ces paramètres impactent la forme du spectre. Les graphiques ont été générés à l'aide du programme CAMB (Anthony Challinor, Antony Lewis  2005) . Il représentent la courbe $l\mapsto D_l = l(l+1)C_l/2\pi$.

Constante de Hubble

On observe, d'après ces courbes, un décalage progressif vers la gauche de la courbe lorsque $H_0$ augmente. C'est assez facile à comprendre : plus la vitesse de l'expansion est élevée, plus les anisotropies grandissent rapidement. Par conséquent, pour une valeur de $H_0$ un peu plus élevée, une même fluctuation densité primordiale engendrera une "tâche" un peu plus grande, et apparaîtra un peu plus à gauche ($l \sim \pi / \theta$) sur le spectre.

Répartition de l'énergie

Courbure

Les photons du CMB suivent grossièrement des géodésiques de la métrique FLRW après la recombinaison. Ces géodésiques convergent dans le cas d'une géométrie sphérique, et divergent pour une géométrie hyperbolique. La taille angulaire $\Delta \theta$ d'une fluctuation originant d'une perturbation de taille $\Delta L$ vérifie grossièrement $\Delta \theta \sim \Delta L/d_A(z_{recomb})$ où $d_A(z_{recomb})$ est la distance angulaire d'un objet de taille $\Delta L$ à la recombinaison et vaut : \begin{equation} d_A(z_{recomb}) = c a(t_{recomb}) S_k(\int_{t_{recomb}}^{t_0} \dfrac{dt}{a(t)}) \end{equation} L'expression de $S_k$ dépend de la géométrie de l'Univers. La valeur de l'intégrale est principalement déterminée par l'ère pendant laquelle $a$ était petit après la recombinaison, et alors la matière dominait. Cette intégrale vaut alors simplement $ \int_{t_{recomb}}^{t_0} \dfrac{dt}{a(t)} = \int_{0}^{z_{recomb}} \dfrac{dz}{H_0\sqrt{\Omega_m} (1+z)^{3/2}} \simeq 2/H_0\sqrt{\Omega_m}$. Par ailleurs : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} S_k(\chi) & = & R \sin \dfrac{\chi}{R} \mbox{ si } k<0\\ S_k(\chi) & = & \chi \mbox{ si } k=0\\ S_k(\chi) & = & R \sinh \dfrac{\chi}{R} \mbox{ si } k>0 \end{matrix}\right.\end{equation} Et $R = \dfrac{c}{H_0\sqrt{|\Omega_k|}}$ si bien que : \begin{equation}\left\{\begin{matrix} \Delta \theta & \propto & \sqrt{|\Omega_k|}/\sin 2\sqrt{\dfrac{|\Omega_k|}{\Omega_m}} \mbox{ si } k<0\\ \Delta \theta & \propto & \sqrt{\Omega_m}/2 \mbox{ si } k=0\\ \Delta \theta & \propto & {\sqrt{|\Omega_k}|}/\sinh 2\sqrt{\dfrac{|\Omega_k|}{\Omega_m}} \mbox{ si } k>0 \end{matrix}\right.\end{equation} Ainsi, une géométrie sphérique ($\Omega_k < 0$) augmente la taille angulaire des anisotropies, et donc déplace le spectre de puissance vers la gauche, à l'inverse d'une géométrie hyperbolique.

Épaisseur optique

Fluctuations primordiales

Comme le souligne l'échelle verticale logarithmique, multiplier la valeur de cette amplitude d'une certaine quantité a pour effet principal de multiplier le spectre de puissance de la même quantité. Les modèles inflationnaires prédisent des perturbations primordiales de la forme $P(k) \propto k^{-3} \left (\frac{k}{k_0}\right) ^{n_s-1}$. Des petites valeurs de $k$ sont corrélées à des grandes échelles angulaires, si bien qu'une valeur de $n_s$ plus grande augmente les perturbations à petite échelle angulaire (haut $l$). Au contraire, une valeur de $n_s$ inférieure favorise les grandes échelles angulaires.